多元函数的极限与连续

平面点集与多元函数

邻域与点集拓扑初步

${\mathbb{R}}^2$ 中的点记作 $P=(x,y)$，两点 $P_1(x_1,y_1)$ 与 $P_2(x_2,y_2)$ 的距离为

$$\rho (P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$$

圆邻域：以 $P_0(x_0,y_0)$ 为中心、$\delta >0$ 为半径的圆邻域

$$U(P_0,\delta )=\{(x,y)\mid \rho (P,P_0)<\delta \}$$

方邻域：$U_{\square }(P_0,\delta )=\{(x,y)\mid |x-x_0|<\delta ,|y-y_0|<\delta \}$。

两者拓扑等价（可通过 $\delta$ 的缩放互相包含），在定义极限时可不加区分。

去心邻域：$U^{\circ }(P_0,\delta )=U(P_0,\delta )\setminus \{P_0\}$。

点与点集的关系

设 $E\subseteq {\mathbb{R}}^2$，$P_0\in {\mathbb{R}}^2$。关于 $E$：

• 内点：若存在 $\delta >0$ 使 $U(P_0,\delta )\subseteq E$，则 $P_0$ 是 $E$ 的内点。$E$ 的全体内点记作 $E^{\circ }$。
• 外点：若存在 $\delta >0$ 使 $U(P_0,\delta )\cap E=\varnothing$，则 $P_0$ 是 $E$ 的外点。
• 边界点：若对任意 $\delta >0$，$U(P_0,\delta )$ 既含 $E$ 中的点又含非 $E$ 中的点，则 $P_0$ 是 $E$ 的边界点。$E$ 的全体边界点记作 $\partial E$。
• 聚点（极限点/据点）：若对任意 $\delta >0$，$U^{\circ }(P_0,\delta )\cap E\ne \varnothing$，则 $P_0$ 是 $E$ 的聚点。即 $P_0$ 的每个去心邻域内都含有 $E$ 中的点。
  • 聚点可能属于 $E$，也可能不属于 $E$。
  • $E$ 的全体聚点称为 $E$ 的导集，记作 $E^{\prime }$。
• 孤立点：若 $P_0\in E$ 且存在 $\delta >0$ 使 $U(P_0,\delta )\cap E=\{P_0\}$，则 $P_0$ 是 $E$ 的孤立点。
  • 孤立点一定属于 $E$，但一定不是聚点（是 $E$ 的边界点）。

关系：$\bar{E}=E\cup E^{\prime }$ 称为 $E$ 的闭包。$E$ 的内点 ⊂ $E$ ⊂ $\bar{E}$。

开集、闭集与区域

• 开集：若 $E$ 中每一点都是 $E$ 的内点（即 $E=E^{\circ }$），则 $E$ 是开集。
• 闭集：若 $E$ 包含了自身的全部聚点（即 $E^{\prime }\subseteq E$），则 $E$ 是闭集。
  • 等价定义：$E$ 的补集 ${\mathbb{R}}^2\setminus E$ 是开集。
  • 等价定义：$E=\bar{E}$。
• 开域（区域）：连通的开集称为开域或区域。连通指 $E$ 中任意两点可用完全含于 $E$ 内的折线连接。
• 闭域：开域连同它的边界，即 $D\cup \partial D$，其中 $D$ 为开域。
• 有界集：存在 $M>0$ 使 $E\subseteq U(O,M)$（原点为心的某圆内）。

区域必为开集，闭域必为闭集。“区域”一词在教材中有时泛指连通集（未必开）。

例 1（点集分类举例）：

• $E_1=\{(x,y)\mid x^2+y^2<1\}$：开集，区域，有界。$\partial E_1$ 为单位圆周。
• $E_2=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\}$：闭集，闭域，有界。
• $E_3=\{(x,y)\mid y>0\}$：开集，区域（上半平面），无界。
• $E_4=\{(0,0)\}\cup \{(x,y)\mid x^2+y^2\ge 1\}$：$(0,0)$ 是孤立点。

${\mathbb{R}}^2$ 上的完备性定理

平面上与实数系中的完备性定理相平行，关键在于点列收敛的定义：

$$P_n\to P_0⟺\rho (P_n,P_0)\to 0(n\to \infty )$$

1. 柯西收敛准则：点列 $\{P_n\}\subseteq {\mathbb{R}}^2$ 收敛的充要条件是 $\{P_n\}$ 为 Cauchy 列，即

$$\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N},\forall m,n>N:\rho (P_m,P_n)<\epsilon$$

2. 闭域套定理：设 $\{D_n\}$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 中一列非空闭域，满足

$$D_1\supseteq D_2\supseteq \cdots \supseteq D_n\supseteq \cdots ,\text{且}\mathrm{diam}(D_n)\to 0(n\to \infty )$$

其中 $\mathrm{diam}(D_n)=\sup \{\rho (P,Q)\mid P,Q\in D_n\}$ 为 $D_n$ 的直径。则存在唯一的 $P_0\in {\mathbb{R}}^2$ 属于所有 $D_n$。

3. 聚点原理（Bolzano-Weierstrass 定理）：${\mathbb{R}}^2$ 中任一有界无限点集至少有一个聚点。

等价表述：${\mathbb{R}}^2$ 中任一有界点列必存在收敛子列（列紧性）。

这三个定理是分析学在二维空间的基石，与实数完备性定理（确界原理、单调有界原理、区间套定理等）一一对应。

二元函数的定义 / $n$ 元函数

二元函数：设 $D\subseteq {\mathbb{R}}^2$，映射 $f:D\to \mathbb{R}$ 称为定义在 $D$ 上的二元函数，记作 $z=f(x,y)$ 或 $f(P)$，$D$ 为定义域。

$n$ 元函数：更一般地，$u=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，定义域为 ${\mathbb{R}}^n$ 的某个子集。

• $n$ 维空间：${\mathbb{R}}^n=\{(x_1,\dots ,x_n)\mid x_i\in \mathbb{R}\}$。
• 距离：$\rho (P,Q)=\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$。
• 邻域、开集、闭集、极限、连续等概念均以这种方式自然推广至 $n$ 维。

二元函数的极限

重极限（二重极限）

定义：设 $f$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 的去心邻域上有定义，$A$ 是一个确定的数。若

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall P:0<\rho (P,P_0)<\delta \Rightarrow |f(P)-A|<\epsilon$$

则称 $f$ 在 $P_0$ 处以 $A$ 为极限，记作

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A\text{或}\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=A$$

核心要求：$P$ 沿任意路径趋近于 $P_0$ 时 $f(P)$ 都趋于同一值 $A$。这是重极限与一元函数极限最根本的区别。

重极限存在的判别方法：

1. 沿不同路径极限不等 ⇒ 重极限不存在（最常用的否定法）。
2. 极坐标法：令 $x=x_0+r\cos \theta ,y=y_0+r\sin \theta$，将 ${\lim }_{P\to P_0}$ 转化为 ${\lim }_{r\to 0}$，若极限值与 $\theta$ 无关且存在，则重极限存在。
3. 夹逼准则：若 $0\le |f(P)-A|\le g(P)$ 且 ${\lim }_{P\to P_0}g(P)=0$，则 ${\lim }_{P\to P_0}f(P)=A$。

例 2（沿不同路径极限不同）：讨论极限 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy}{x^2+y^2}$。

解：取路径 $y=kx$：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\cdot kx}{x^2+k^2{x}^2}=\frac{k}{1+k^2}$$

极限值随 $k$ 变化，故重极限不存在。

例 3（极坐标法）：求 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }(x^2+y^2)\sin \frac{1}{x^2+y^2}$。

解：令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，则

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)=\underset{r\to 0}{\lim }{r}^2\sin \frac{1}{r^2}=0$$

因为 $r^2\to 0$ 而 $\sin \frac{1}{r^2}$ 有界（夹逼原理），故重极限 $=0$。

例 4（路径依赖——高阶情形）：讨论 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^{2}y}{x^4+y^2}$。

解：沿 $y=kx$：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{k{x}^3}{x^4+k^2{x}^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{kx}{x^2+k^2}=0$（与 $k$ 无关），似乎极限存在。

但沿 $y=x^2$：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^4}{x^4+x^4}=\frac{1}{2}$。

两条路径极限不同，重极限不存在。此例警示：仅检验直线路径不够，还需考虑曲线路径。

累次极限（二次极限）

定义：固定 $y$，先求 $x\to x_0$ 的极限，再对 $y\to y_0$ 取极限：

$$\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)\text{（先 x 后 y 的累次极限）}$$

同样定义先 $y$ 后 $x$ 的累次极限 $\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)$。

重极限与累次极限的关系：两者是不同概念：

• 重极限存在 ⇒ 两个累次极限未必存在（例 3：${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{x^2+y^2}=0$，但累次极限不存在，因 ${\lim }_{x\to 0}f(x,y)$ 对固定的 $y$ 振荡无极限）。
• 两个累次极限存在且相等 ⇒ 重极限未必存在（例 2：$\frac{xy}{x^2+y^2}$ 的两个累次极限均为 $0$，但重极限不存在）。
• 充分条件：若重极限存在，且对每个固定的 $y$（或 $x$），内层一元极限存在，则相应的累次极限等于重极限。

重极限是”同时趋于”，累次极限是”先后趋于”——两者次序不可随意交换。

二元函数的连续性

连续性定义

定义：设 $f$ 在 $P_0$ 的某邻域（含 $P_0$）上有定义。若

$$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=f(P_0)$$

则称 $f$ 在 $P_0$ 处连续。若 $f$ 在区域 $D$ 的每一点均连续，则称 $f$ 在 $D$ 上连续，记作 $f\in C(D)$。

等价表述：$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$，当 $\rho (P,P_0)<\delta$ 时有 $|f(P)-f(P_0)|<\epsilon$。

增量形式：记 $\Delta x=x-x_0,\Delta y=y-y_0$，则全增量

$$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$$

连续性即 $\Delta z\to 0(\rho \to 0)$。

间断点：若 $f$ 在 $P_0$ 处不连续，则 $P_0$ 为 $f$ 的间断点。常见类型：

• 不存在极限（如例 2 中的 $(0,0)$）；
• 极限存在但不等于函数值（可去间断点）；
• 沿某方向无定义。

连续函数的性质

设 $f,g$ 在 $P_0$ 处连续，则 $f\pm g$，$f\cdot g$，$\frac{f}{g}$（$g(P_0)\ne 0$）均在 $P_0$ 处连续。复合函数的连续性：若 $u=\phi (x,y),v=\psi (x,y)$ 在 $P_0$ 处连续，且 $f(u,v)$ 在对应点处连续，则 $f(\phi (x,y),\psi (x,y))$ 在 $P_0$ 处连续。

以下定理是有界闭域上连续函数的经典性质（与一元函数完全对应）：

1. 有界性与最大值最小值定理 若 $f$ 在有界闭域 $\bar{D}$ 上连续，则：

• $f$ 在 $\bar{D}$ 上有界；
• $f$ 在 $\bar{D}$ 上必取得最大值与最小值（即 $\exists P_1,P_2\in \bar{D}$ 使 $f(P_1)={\sup }_{\bar{D}}f,f(P_2)={\inf }_{\bar{D}}f$）。

条件”有界闭域”缺一不可：开域上有界连续函数未必可取到最值（如 $f(x,y)=1-x^2-y^2$ 在 $x^2+y^2<1$ 上取不到最小值 $0$）。

2. 一致连续性定理（Cantor 定理） 若 $f$ 在有界闭域 $\bar{D}$ 上连续，则 $f$ 在 $\bar{D}$ 上一致连续，即

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall P,Q\in \bar{D}:\rho (P,Q)<\delta \Rightarrow |f(P)-f(Q)|<\epsilon$$

其中 $\delta$ 只依赖于 $\epsilon$ 而不依赖于点的位置，这与普通连续性的 $\delta =\delta (\epsilon ,P_0)$ 形成对比。

3. 介值定理（中间值定理） 若 $f$ 在连通集（区域）$D$ 上连续，$P_1,P_2\in D$，$f(P_1)\ne f(P_2)$，则对 $f(P_1)$ 与 $f(P_2)$ 之间的任意值 $\mu$，存在 $P\in D$ 使 $f(P)=\mu$。

此即一元函数介值定理的二维推广——连续函数将连通集映为区间（$\mathbb{R}$ 中的连通集）。

例 5（介值定理的应用）：证明方程 $x^2+y^2+z^2=xyz+1$ 在原点附近存在非零解。

（留作习题，提示：考虑 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xyz-1$ 在球面上的符号。）

多元函数微分学

多元函数的可微性

可微性与全微分

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义。

定义：若 $f$ 在 $P_0$ 处的全增量可表为

$$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )(\rho \to 0)$$

其中 $A,B$ 不依赖于 $\Delta x,\Delta y$，$\rho =\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$，则称 $f$ 在 $P_0$ 处可微。

线性主部 $A\Delta x+B\Delta y$ 称为 $f$ 在 $P_0$ 处的全微分，记作

$$dz{|}_{P_0}=Adx+Bdy$$

其中 $dx=\Delta x,dy=\Delta y$。

几何意义：可微性等价于曲面 $z=f(x,y)$ 在 $P_0$ 处存在不垂直于 $z$ 轴的切平面，且

$$z-z_0=A(x-x_0)+B(y-y_0)$$

恰好是切平面方程。$o(\rho )$ 表示当点无限靠近 $P_0$ 时，曲面与切平面之间的差异是高于一阶的无穷小。

推广到 $n$ 元：$u=f(x_1,\dots ,x_n)$ 在 $P_0$ 处可微 ⇔ $\Delta u={\sum }_{i=1}^n{A}_i\Delta x_i+o(\rho )$，此时 $du=\sum A_{i}d{x}_i$。

偏导数

定义：$z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处关于 $x$ 的偏导数定义为

$$f_x(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

$f_y$ 类似定义。偏导数的计算就是将其他变量视为常数，按一元函数求导。

可微 ⇒ 偏导数存在：若 $f$ 在 $P_0$ 处可微，则 $A=f_x(x_0,y_0),B=f_y(x_0,y_0)$。因此全微分又可写为

$$dz=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$

偏导数存在 ⇏ 可微：偏导数存在只是可微的必要而非充分条件。

例 1（偏导数存在但不可微）：

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

在 $(0,0)$ 处：

$$f_x(0,0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(\Delta x,0)-0}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{0}{\Delta x}=0$$

同理 $f_y(0,0)=0$，两个偏导数均存在。但 $f$ 在 $(0,0)$ 处甚至不连续（沿 $y=kx$ 趋近时极限为 $\frac{k}{1+k^2}$），故不可微。

可微性条件

必要条件：

• $f$ 在 $P_0$ 处可微 ⇒ $f$ 在 $P_0$ 处连续；
• $f$ 在 $P_0$ 处可微 ⇒ $f_x,f_y$ 存在（且 $dz=f_{x}dx+f_{y}dy$）。

充分条件：若 $f_x,f_y$ 在 $P_0$ 的某邻域内存在，且在 $P_0$ 处连续，则 $f$ 在 $P_0$ 处可微。

判别流程：

1. 先求 $f_x,f_y$，若在 $P_0$ 处连续 → 可微；
2. 若不连续但存在 → 需按定义检验 $\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\rho }=0$ 是否成立；
3. 若 $f_x$ 或 $f_y$ 不存在 → 不可微。

例 2（可微性的直接验证）：判断

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

在 $(0,0)$ 处的可微性。

解：先求偏导数在 $(0,0)$ 处的值：

$$f_x(0,0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(\Delta x{)}^2\sin (1/\Delta x^2)-0}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta x\sin \frac{1}{\Delta x^2}=0$$

同理 $f_y(0,0)=0$。再检验可微性：

$$\frac{\Delta z-0\cdot \Delta x-0\cdot \Delta y}{\rho }=\frac{{\rho }^2\sin (1/{\rho }^2)}{\rho }=\rho \sin \frac{1}{{\rho }^2}\to 0(\rho \to 0)$$

故 $f$ 在 $(0,0)$ 处可微。但 $f_x$ 在 $(0,0)$ 处不连续（在其邻域内 $f_x$ 振荡无极限），说明偏导数连续是可微的充分非必要条件。

复合函数微分法

链式法则

设 $z=f(u,v)$ 可微，而 $u,v$ 本身又是其他自变量的函数。

情形 1：中间变量均为一元函数

$$z=f(u(t),v(t))$$

则 $z$ 是 $t$ 的一元函数，链式法则为

$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{dv}{dt}$$

全导数公式——每条从 $z$ 到 $t$ 的路径贡献一项乘积。

情形 2：中间变量均为多元函数

$$z=f(u(x,y),v(x,y))$$ $$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$$

情形 3：混合型（自变量既直接出现在外层函数中又作为中间变量）

$$z=f(x,y,u(x,y))$$

此时 $x$ 以两种身份出现——外层直接变量和中间变量的自变量。链式法则需合并两条路径：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}$$

注意区分 $\frac{\partial z}{\partial x}$（全偏导数）与 $\frac{\partial f}{\partial x}$（将 $x,y,u$ 都看作独立变量时对第一个位置的偏导）。

推广到更多变量：若 $w=f(u_1,\dots ,u_m)$ 且 $u_i=u_i(x_1,\dots ,x_n)$，则

$$\frac{\partial w}{\partial x_j}=\sum _{i=1}^m\frac{\partial f}{\partial u_i}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}(j=1,\dots ,n)$$

链式法则例题

例 3（情形 1——全导数）：设 $z=e^u\sin v$，$u=t^2$，$v=\ln t$，求 $\frac{dz}{dt}$。

链式法则：

$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}=e^u\sin v\cdot 2t+e^u\cos v\cdot \frac{1}{t}=e^{t^2}\left(2t\sin (\ln t)+\frac{\cos (\ln t)}{t}\right)$$

验证（直接代入）：$z=e^{t^2}\sin (\ln t)$，求导后结果一致。

例 4（情形 2——二元中间变量）：设 $z=u^{2}v+v^3$，$u=x+y$，$v=xy$，求 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$。

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=(2uv)\cdot 1+(u^2+3v^2)\cdot y=2uv+y(u^2+3v^2)$$ $$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}=(2uv)\cdot 1+(u^2+3v^2)\cdot x=2uv+x(u^2+3v^2)$$

例 5（情形 3——混合型）：设 $z=x^2+y^2+f(xy)$，其中 $f$ 可导。求 $\frac{\partial z}{\partial x}$。

$$\frac{\partial z}{\partial x}=2x+f^{\prime }(xy)\cdot y=2x+y{f}^{\prime }(xy)$$

这里 $x$ 既直接出现在 $x^2$ 中（外层），又出现在 $f(xy)$ 的变量中（经过 $u=xy$ 这条路径）。

例 6（三中间变量的全导数）：设 $w=f(x,y,z)$，而 $x=\cos t,y=\sin t,z=t$，求 $\frac{dw}{dt}$。

$$\frac{dw}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}(-\sin t)+\frac{\partial f}{\partial y}(\cos t)+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot 1$$

一阶全微分的形式不变性

结论：不论 $u,v$ 是自变量还是中间变量（即其他自变量的函数），只要函数可微，一阶全微分的形式

$$dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$$

保持成立。二阶及更高阶的全微分不具有形式不变性。

推导：设 $z=f(u,v)$，而 $u=u(x,y),v=v(x,y)$。

• 若视 $u,v$ 为自变量：$dz=z_{u}du+z_{v}dv$。
• 若视 $x,y$ 为自变量：由链式法则 $$dz=z_{x}dx+z_{y}dy=(z_u{u}_x+z_v{v}_x)dx+(z_u{u}_y+z_v{v}_y)dy$$ 重新组合： $$dz=z_u(u_{x}dx+u_{y}dy)+z_v(v_{x}dx+v_{y}dy)=z_{u}du+z_{v}dv$$ 形式完全一致。

应用：全微分形式不变性使我们可以直接利用一元微分的运算法则：

$$d(u\pm v)=du\pm dv,d(uv)=udv+vdu,d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu-udv}{v^2}$$

在多元复合函数中对中间变量作微分运算，无需将中间变量展开为自变量。

方向导数与梯度

方向导数

设 $f(P)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，$\mathbf{l}=(\cos \alpha ,\cos \beta )$ 为一单位方向向量（${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta =1$）。

定义：$f$ 在 $P_0$ 处沿方向 $\mathbf{l}$ 的方向导数定义为

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}{|}_{P_0}=\underset{t\to 0+}{\lim }\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}$$

若该极限存在，表示 $f$ 在 $P_0$ 处沿 $\mathbf{l}$ 方向的变化率。

计算公式：若 $f$ 在 $P_0$ 处可微，则对任意单位方向 $\mathbf{l}$：

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}{|}_{P_0}=f_x(P_0)\cos \alpha +f_y(P_0)\cos \beta$$

对于 $n$ 元函数 $u=f(x_1,\dots ,x_n)$，沿单位方向 $\mathbf{l}=(\cos {\alpha }_1,\dots ,\cos {\alpha }_n)$：

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\cos {\alpha }_i$$

注意：

• 方向导数与偏导数的关系：$\frac{\partial f}{\partial x}$ 是 $\mathbf{l}=(1,0)$ 时的方向导数；$\frac{\partial f}{\partial y}$ 是 $\mathbf{l}=(0,1)$ 时的方向导数。
• 方向导数是单侧极限（$t\to 0+$），同一方向的反方向的方向导数是原值的相反数，即 $\frac{\partial f}{\partial (-\mathbf{l})}=-\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}$。
• 可微是方向导数可用公式 $f_x\cos \alpha +f_y\cos \beta$ 计算的充分条件。偏导数存在不足以保证沿任意方向的方向导数都存在（参见例 1 中 $(0,0)$ 处）。

梯度

定义：可微函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0$ 处的梯度（gradient）定义为向量

$$\mathrm{grad}f(P_0)=\nabla f(P_0)=(f_x(P_0),f_y(P_0))$$

$n$ 元函数：$\nabla f=(f_{x_1},f_{x_2},\dots ,f_{x_n})$。

方向导数与梯度的关系：

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}=\nabla f\cdot \mathbf{l}=|\nabla f|\cos \theta$$

其中 $\theta$ 是 $\nabla f$ 与 $\mathbf{l}$ 的夹角。

梯度的基本性质：

1. 方向导数的最大值：当 $\mathbf{l}$ 与 $\nabla f$ 同向（$\theta =0$）时方向导数最大，值为 $|\nabla f|$。因此 $\nabla f$ 的方向是函数增长最快的方向。
2. 方向导数的最小值：当 $\mathbf{l}$ 与 $\nabla f$ 反向（$\theta =\pi$）时方向导数最小，值为 $-|\nabla f|$。
3. 沿等值线的方向：当 $\mathbf{l}$ 与 $\nabla f$ 垂直（$\theta =\pi /2$）时方向导数为零——梯度方向垂直于等值线（$f(x,y)=C$ 的切线方向）。
4. 梯度是函数值变化最快的向量，其模长是最大方向导数。

梯度的运算法则（$f,g$ 可微）：

$$\nabla (f\pm g)=\nabla f\pm \nabla g,\nabla (fg)=g\nabla f+f\nabla g,\nabla \left(\frac{f}{g}\right)=\frac{g\nabla f-f\nabla g}{g^2}$$ $$\nabla (h\circ f)=h^{\prime }(f)\nabla f(\text{若 }h\text{ 可导})$$

例 11（方向导数与梯度的计算）：设 $f(x,y)=x^2+xy+y^2$，求 $f$ 在点 $(1,1)$ 处沿方向 $\mathbf{l}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ 的方向导数，并求该点处的最大方向导数。

解：

$$f_x=2x+y,f_y=x+2y$$

在 $(1,1)$ 处：$\nabla f=(3,3)$。

沿 $\mathbf{l}$ 的方向导数：

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}=3\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+3\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$$

最大方向导数：$|\nabla f|=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，沿 $(1,1)$ 方向（即梯度方向）。

例 12（等值线的法向量）：证明曲线 $f(x,y)=C$ 在点 $P_0$ 处的法向量为 $\nabla f(P_0)$。

在 $f(x,y)=C$ 两边沿切线方向 $\mathbf{T}$ 取方向导数：切线方向是等值线方向，函数值恒定，故 $\frac{\partial f}{\partial \mathbf{T}}=0$，即 $\nabla f\cdot \mathbf{T}=0$。因此 $\nabla f\perp \mathbf{T}$，梯度方向即法线方向。

泰勒公式与极值问题

高阶偏导数

二阶偏导数：$z=f(x,y)$ 的四个二阶偏导数定义为

$$f_{xx}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right),f_{xy}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right),f_{yx}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right),f_{yy}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$$

Clairaut 定理：若 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续，则

$$f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$$

即混合偏导数在连续条件下与求导次序无关。在后面的讨论中，如无特别说明，均默认混合偏导数连续，从而 $f_{xy}=f_{yx}$。

算子记号：设 $z=f(x,y)$ 的 $k$ 阶偏导数均连续。引入算子：

$${\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{m}f=\sum _{i=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i}\right)h^{m-i}{k}^i\frac{{\partial }^{m}f}{\partial x^{m-i}\partial y^i}$$

例如 $m=2$ 时：

$${\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{2}f=h^2{f}_{xx}+2hk{f}_{xy}+k^2{f}_{yy}$$

二元函数的中值定理

设 $f(x,y)$ 在凸区域 $D$ 上可微，则对 $D$ 内任意两点 $(x_0,y_0)$ 与 $(x_0+h,y_0+k)$，存在 $\theta \in (0,1)$ 使得

$$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0+\theta h,y_0+\theta k)\cdot h+f_y(x_0+\theta h,y_0+\theta k)\cdot k$$

即

$$\Delta f=\nabla f(x_0+\theta h,y_0+\theta k)\cdot (h,k)$$

推论：若 $\nabla f\equiv 0$ 在区域 $D$ 上成立，则 $f$ 在 $D$ 上为常数。

二元函数的泰勒公式

设 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的邻域内有直到 $n+1$ 阶连续偏导数。

$n$ 阶 Taylor 展开（带 Lagrange 余项）：

$$\begin{array}{rl}f(x_0+h,y_0+k)=& f(x_0,y_0)+\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)f(x_0,y_0)\\ & +\frac{1}{2!}{\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{2}f(x_0,y_0)+\cdots \\ & +\frac{1}{n!}{\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{n}f(x_0,y_0)+R_n\end{array}$$

其中 $R_n=\frac{1}{(n+1)!}{\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{n+1}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k)$，$\theta \in (0,1)$。

二阶展开（最常用）：

$$\begin{array}{rl}f(x_0+h,y_0+k)=f(P_0)& +[f_x(P_0)h+f_y(P_0)k]\\ & +\frac{1}{2!}[f_{xx}(P_0)h^2+2f_{xy}(P_0)hk+f_{yy}(P_0)k^2]+o({\rho }^2)\end{array}$$

其中 $\rho =\sqrt{h^2+k^2}$。

矩阵形式：令 $\mathbf{r}=(h,k{)}^T$，二阶展开可写为

$$f(P_0+\mathbf{r})=f(P_0)+\nabla f(P_0)\cdot \mathbf{r}+\frac{1}{2}{\mathbf{r}}^T{H}_f(P_0)\mathbf{r}+o(|\mathbf{r}{|}^2)$$

其中 $H_f$ 为 Hesse 矩阵（见下文）。此形式与一元 Taylor 展开 $f(x_0+h)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)h+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(x_0)h^2+o(h^2)$ 完全对应。

例 13（二阶 Taylor 展开）：求 $f(x,y)=e^{x+y}$ 在 $(0,0)$ 处的二阶 Taylor 展开。

解：$f(0,0)=1$。偏导数：

$$f_x=e^{x+y},f_y=e^{x+y}\Rightarrow f_x(0,0)=f_y(0,0)=1$$ $$f_{xx}=f_{xy}=f_{yy}=e^{x+y}\Rightarrow f_{xx}(0,0)=f_{xy}(0,0)=f_{yy}(0,0)=1$$

代入公式：

$$e^{x+y}=1+(x+y)+\frac{1}{2}(x^2+2xy+y^2)+o(x^2+y^2)$$

注意到这正是 $e^t$ 的一元展开中令 $t=x+y$ 的结果，符合预期。

多元函数的极值问题

无条件极值

定义：若存在 $P_0$ 的某邻域，使得对该邻域内一切点 $P$ 有 $f(P)\ge f(P_0)$（或 $\le$），则称 $P_0$ 为 $f$ 的极小值点（或极大值点）。

必要条件（一阶条件）：若 $f$ 在 $P_0$ 处可微且取得极值，则

$$\nabla f(P_0)=0\text{即}{f}_{x_1}(P_0)=\cdots =f_{x_n}(P_0)=0$$

满足 $\nabla f=0$ 的点称为驻点（或临界点）。极值点一定是驻点，但驻点未必是极值点。

Hesse 矩阵与充分条件

Hesse 矩阵：$n$ 元函数 $f$ 在 $P_0$ 处的 Hesse 矩阵为 $n\times n$ 对称矩阵

$$H_f(P_0)={\left(\begin{array}{cccc}{f}_{x_1{x}_1}& f_{x_1{x}_2}& \cdots & f_{x_1{x}_n}\\ f_{x_2{x}_1}& f_{x_2{x}_2}& \cdots & f_{x_2{x}_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ f_{x_n{x}_1}& f_{x_n{x}_2}& \cdots & f_{x_n{x}_n}\end{array}\right)}_{P_0}$$

由 Clairaut 定理（混合偏导数连续），$H_f$ 是对称矩阵。

二阶充分条件：设 $P_0$ 是驻点（$\nabla f(P_0)=0$），且 $f$ 在 $P_0$ 的邻域内有二阶连续偏导数。记 $H=H_f(P_0)$。

1. 若 $H$ 为正定矩阵 ⇒ $P_0$ 是严格极小值点；
2. 若 $H$ 为负定矩阵 ⇒ $P_0$ 是严格极大值点；
3. 若 $H$ 为不定矩阵 ⇒ $P_0$ 不是极值点（鞍点）；
4. 若 $H$ 为半正定/半负定（退化） ⇒ 需用更高阶的 Taylor 展开或直接分析。

几何解释：由二阶 Taylor 展开，在驻点处 $\Delta f\approx \frac{1}{2}{\mathbf{r}}^{T}H\mathbf{r}$。$H$ 的正负定性决定了在驻点附近 $f$ 是”上凸”还是”下凸”的二次型。

二元函数的极值判别法

对 $z=f(x,y)$，设 $(x_0,y_0)$ 为驻点，记

$$A=f_{xx}(x_0,y_0),B=f_{xy}(x_0,y_0),C=f_{yy}(x_0,y_0)$$

则 Hesse 矩阵为 $H=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& C\end{array}\right)$。判别式：

$$\Delta =\det H=AC-B^2$$

• 若 $\Delta >0$ 且 $A>0$ ⇒ 极小值点；
• 若 $\Delta >0$ 且 $A<0$ ⇒ 极大值点；
• 若 $\Delta <0$ ⇒ 不是极值点（鞍点）；
• 若 $\Delta =0$ ⇒ 无法判定，需进一步分析。

此判别法等价于判断 $2\times 2$ 对称矩阵的正负定性：$\Delta >0,A>0$ ⇔ 正定；$\Delta >0,A<0$ ⇔ 负定；$\Delta <0$ ⇔ 不定。

例 14（二元极值判别）：求 $f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x$ 的极值。

解：先求驻点：

$$\{\begin{array}{l}{f}_x=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x+3)(x-1)=0\\ f_y=-3y^2+6y=-3y(y-2)=0\end{array}$$

驻点：$x=-3$ 或 $1$，$y=0$ 或 $2$，共四个：$P_1(-3,0),P_2(-3,2),P_3(1,0),P_4(1,2)$。

二阶偏导数：

$$A=f_{xx}=6x+6,B=f_{xy}=0,C=f_{yy}=-6y+6$$ $$\Delta =AC-B^2=(6x+6)(-6y+6)$$

• $P_1(-3,0)$：$A=-12<0,\Delta =(-12)(6)=-72<0$ ⇒ 鞍点，非极值。
• $P_2(-3,2)$：$A=-12<0,\Delta =(-12)(-6)=72>0$ ⇒ 极大值点，$f_{\max }=f(-3,2)=-27-8+27+12+27=31$。
• $P_3(1,0)$：$A=12>0,\Delta =(12)(6)=72>0$ ⇒ 极小值点，$f_{\min }=f(1,0)=1-0+3+0-9=-5$。
• $P_4(1,2)$：$A=12>0,\Delta =(12)(-6)=-72<0$ ⇒ 鞍点，非极值。

例 15（三个变量的极值）：求 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xy+x-2z$ 的极值。

解：驻点方程：

$$\{\begin{array}{l}{f}_x=2x-y+1=0\\ f_y=2y-x=0\\ f_z=2z-2=0\end{array}$$

由第二式 $x=2y$，代入第一式：$4y-y+1=0\Rightarrow 3y=-1\Rightarrow y=-\frac{1}{3},x=-\frac{2}{3}$。由第三式 $z=1$。唯一驻点 $P_0\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3},1\right)$。

Hesse 矩阵：

$$H=\left(\begin{array}{ccc}{f}_{xx}& f_{xy}& f_{xz}\\ f_{yx}& f_{yy}& f_{yz}\\ f_{zx}& f_{zy}& f_{zz}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$

判断正定性（计算顺序主子式）：

$${\Delta }_1=2>0,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right|=4-1=3>0,{\Delta }_3=\det H=2\cdot 3=6>0$$

三个顺序主子式均 $>0$，$H$ 正定 ⇒ $P_0$ 为严格极小值点。极小值：

$$f_{\min }=\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+1-\frac{2}{9}-\frac{2}{3}-2=\frac{3}{9}+1-\frac{2}{3}-2=\frac{1}{3}+1-\frac{2}{3}-2=-\frac{4}{3}$$

隐函数及其应用

隐函数的概念

隐函数的定义

设有方程 $F(x,y)=0$，若存在集合 $I\subseteq \mathbb{R}$ 与函数 $y=f(x)$，使得对任意 $x\in I$ 恒有

$$F(x,f(x))=0$$

则称 $y=f(x)$ 是由方程 $F(x,y)=0$ 所确定的隐函数。

与显函数的区别：显函数形如 $y=f(x)$，自变量与因变量分离；隐函数由方程 $F(x,y)=0$ 约束，$x$ 与 $y$ 的地位形式上对等，但未必能显式解出。

例 1（单位圆）：方程 $x^2+y^2-1=0$，取 $F(x,y)=x^2+y^2-1$。

• 在 $(0,1)$ 附近，$F_y(0,1)=2\ne 0$，可解出 $y=\sqrt{1-x^2}$。
• 在 $(1,0)$ 处，$F_y(1,0)=0$，切线竖直，无法将 $y$ 表为 $x$ 的（可微）函数；但 $F_x(1,0)=2\ne 0$，可将 $x$ 表为 $y$ 的函数 $x=\sqrt{1-y^2}$。
• 在 $(\pm 1,0)$ 处恰是 $F_y=0$ 的点，定理失效——能否解出隐函数取决于偏导数是否为零。

隐函数存在唯一性定理

设二元函数 $F(x,y)$ 满足：

1. $F(x_0,y_0)=0$（初始点在曲线上）；
2. $F(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有连续偏导数；
3. $F_y(x_0,y_0)\ne 0$。

则存在 $x_0$ 的某邻域 $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$，在该邻域内由 $F(x,y)=0$ 唯一确定了一个隐函数 $y=f(x)$，满足 $F(x,f(x))=0$ 且 $f(x_0)=y_0$。

几何意义：条件 $F_y\ne 0$ 意味着在 $(x_0,y_0)$ 处曲线 $F(x,y)=0$ 的切线不垂直于 $x$ 轴，从而在该点附近可用 $x$ 唯一地确定 $y$。若 $F_y=0$ 但 $F_x\ne 0$，则对调角色——可将 $x$ 表为 $y$ 的隐函数。

条件 $F_y(x_0,y_0)\ne 0$ 是关键——它保证了在 $y$ 方向上方程可解。

隐函数的可微性定理

在上述存在定理的条件下，$f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且

$$f^{\prime }(x_0)=-\frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}$$

更一般地，在邻域内：

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$$

推导：对恒等式 $F(x,f(x))=0$ 两边关于 $x$ 求全导数（$y$ 是 $x$ 的函数），由链式法则得

$$F_x+F_y\cdot f^{\prime }(x)=0$$

由于 $F_y\ne 0$，解得 $f^{\prime }(x)=-\frac{F_x}{F_y}$。

高阶导数：由 $f^{\prime }(x)=-\frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))}$ 可继续对 $x$ 求导得到 $f^{\prime \prime }(x)$。注意 $F_x$ 和 $F_y$ 既含 $x$ 也含 $y=f(x)$，求导时需用链式法则。

例 2：设方程 $e^y+xy-1=0$ 确定隐函数 $y=y(x)$，求 $y^{\prime }(0)$。 解：记 $F(x,y)=e^y+xy-1$。

• 验证条件：$F(0,0)=e^0+0-1=0$，初始点在曲线上。
• $F_x=y$，$F_y=e^y+x$，在 $(0,0)$ 处连续。
• $F_y(0,0)=1\ne 0$，定理成立。
• 求导： $$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{y}{e^y+x}$$ 代入 $(x,y)=(0,0)$ 得 $y^{\prime }(0)=-\frac{0}{1}=0$。

例 3：方程 $x^3+y^3-3axy=0$（笛卡尔叶形线），求 $\frac{dy}{dx}$。 解：$F(x,y)=x^3+y^3-3axy$。

• $F_x=3x^2-3ay$，$F_y=3y^2-3ax$
• $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{3x^2-3ay}{3y^2-3ax}=\frac{ay-x^2}{y^2-ax}$ 当分母 $y^2-ax=0$ 时（即 $F_y=0$ 处），导数不存在，此时切线竖直。

反函数存在性与其导数——从隐函数定理推导

设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内有连续导数且 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$。下面用隐函数定理给出反函数的存在性与可导性：

推导：

1. 构造隐函数方程：令 $$G(x,y)=f(x)-y=0$$ 点 $(x_0,y_0)$ 满足 $G(x_0,y_0)=f(x_0)-y_0=0$，即 $y_0=f(x_0)$。
2. 验证隐函数定理条件：
   • $G$ 在 $(x_0,y_0)$ 附近有连续偏导数（因为 $f$ 有连续导数）。
   • $G_x=f^{\prime }(x)$，在 $x_0$ 处 $G_x(x_0,y_0)=f^{\prime }(x_0)\ne 0$（已知条件）。
   • $G_y=-1\ne 0$（平凡满足）。
3. 应用隐函数定理：由 $G_x(x_0,y_0)\ne 0$，可将 $x$ 解为 $y$ 的隐函数，即存在 $x=\phi (y)$ 在 $y_0$ 附近满足 $G(\phi (y),y)=0$，亦即 $f(\phi (y))=y$。$\phi$ 就是 $f$ 的反函数。
4. 求反函数的导数：由隐函数求导公式（此时将 $x$ 视作 $y$ 的隐函数）： $${\phi }^{\prime }(y_0)=\frac{dx}{dy}{|}_{y_0}=-\frac{G_y}{G_x}{|}_{(x_0,y_0)}=-\frac{(-1)}{f^{\prime }(x_0)}=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$$ 即反函数导数等于原函数导数的倒数。

核心条件回顾：隐函数定理要求该方向的偏导数 $\ne 0$。解出 $y$ 是 $x$ 的函数要求 $F_y\ne 0$，而解出 $x$ 是 $y$ 的函数则要求 $F_x\ne 0$（此处即 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$）。这正是反函数存在性的代数根源——一阶微分在直观上就是线性近似中的”斜率”不可为零。

隐函数组

以下讨论两个方程确定两个隐函数的情形。设有方程组

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0\end{array}$$

其中 $x,y$ 为自变量，$u,v$ 为由方程组确定的隐函数，即 $u=u(x,y),v=v(x,y)$。

隐函数组的存在定理

设 $F,G$ 满足：

1. $F(P_0)=G(P_0)=0$，其中 $P_0=(x_0,y_0,u_0,v_0)$；
2. $F,G$ 在 $P_0$ 的某邻域内有连续偏导数；
3. 雅可比行列式（关于 $u,v$）在 $P_0$ 处不为零： $$J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|=F_u{G}_v-F_v{G}_u\ne 0$$

则在 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内存在唯一的隐函数组 $u=u(x,y),v=v(x,y)$，满足方程组且 $u(x_0,y_0)=u_0,v(x_0,y_0)=v_0$。

雅可比矩阵 $\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}$ 是 $2\times 2$ 矩阵，$J$ 为其行列式。$J\ne 0$ 保证了线性化后的方程组可解——这是对两个变量的自然推广：单个隐函数要求 $F_y\ne 0$，隐函数组要求 $J\ne 0$。

一阶偏导数公式——推导过程

将 $u=u(x,y),v=v(x,y)$ 代入方程组：

$$F(x,y,u(x,y),v(x,y))\equiv 0,G(x,y,u(x,y),v(x,y))\equiv 0$$

Step 1：对 $x$ 求偏导（$y$ 固定，$u,v$ 视为 $x$ 的函数）：

$$\{\begin{array}{l}{F}_x+F_u\cdot u_x+F_v\cdot v_x=0\\ G_x+G_u\cdot u_x+G_v\cdot v_x=0\end{array}$$

Step 2：写成矩阵形式，移项：

$$\left(\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ v_x\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}{F}_x\\ G_x\end{array}\right)$$

Step 3：用 Cramer 法则求解。记 $J=\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|\ne 0$，则

$$u_x=\frac{\left|\begin{array}{cc}-F_x& F_v\\ -G_x& G_v\end{array}\right|}{J}=-\frac{F_x{G}_v-F_v{G}_x}{J}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)}$$ $$v_x=\frac{\left|\begin{array}{cc}{F}_u& -F_x\\ G_u& -G_x\end{array}\right|}{J}=-\frac{F_u{G}_x-F_x{G}_u}{J}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,x)}$$

Step 4：同理对 $y$ 求偏导（$x$ 固定）：

$$\{\begin{array}{l}{F}_y+F_u\cdot u_y+F_v\cdot v_y=0\\ G_y+G_u\cdot u_y+G_v\cdot v_y=0\end{array}$$

解得：

$$u_y=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,v)},v_y=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,y)}$$

汇总公式：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)},\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,x)}$$ $$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,v)},\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,y)}$$

其中 $\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)}=\left|\begin{array}{cc}{F}_x& F_v\\ G_x& G_v\end{array}\right|$ 等。

记忆规律：对 $x$ 求偏导时，将要求的隐函数变量对应的列替换为 $x$ 的偏导数列，再除以 $J$ 并取负号。求 $u_x$ 时替换第 1 列 ($u$-列)；求 $v_x$ 时替换第 2 列 ($v$-列)。

利用全微分计算——矩阵运算全过程

对两个方程分别取全微分（将 $u,v$ 视为因变量，$x,y$ 为自变量）：

$$\{\begin{array}{l}{F}_{x}dx+F_{y}dy+F_{u}du+F_{v}dv=0\\ G_{x}dx+G_{y}dy+G_{u}du+G_{v}dv=0\end{array}$$

Step 1：分出 $du,dv$ 与 $dx,dy$，写成矩阵方程： 将含 $du,dv$ 的项留在左边，$dx,dy$ 的项移到右边：

$$\left(\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}du\\ dv\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{cc}{F}_x& F_y\\ G_x& G_y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right)$$

记系数矩阵 $\mathbf{J}=\left(\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right)$。由存在定理 $J=\det \mathbf{J}\ne 0$，故 $\mathbf{J}$ 可逆。

Step 2：求 ${\mathbf{J}}^{-1}$。对于 $2\times 2$ 矩阵：

$${\mathbf{J}}^{-1}=\frac{1}{J}\left(\begin{array}{cc}{G}_v& -F_v\\ -G_u& F_u\end{array}\right)$$

验证：$\mathbf{J}{\mathbf{J}}^{-1}=\frac{1}{J}\left(\begin{array}{cc}{F}_u{G}_v-F_v{G}_u& -F_u{F}_v+F_v{F}_u\\ G_u{G}_v-G_v{G}_u& -G_u{F}_v+G_v{F}_u\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ ✓

Step 3：两边左乘 ${\mathbf{J}}^{-1}$ 解出 $du,dv$：

$$\left(\begin{array}{c}du\\ dv\end{array}\right)=-\frac{1}{J}\left(\begin{array}{cc}{G}_v& -F_v\\ -G_u& F_u\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{F}_x& F_y\\ G_x& G_y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right)$$

Step 4：计算矩阵乘积：

$$\left(\begin{array}{cc}{G}_v& -F_v\\ -G_u& F_u\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{F}_x& F_y\\ G_x& G_y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{F}_x{G}_v-F_v{G}_x& F_y{G}_v-F_v{G}_y\\ F_u{G}_x-F_x{G}_u& F_u{G}_y-F_y{G}_u\end{array}\right)$$

所以

$$\left(\begin{array}{c}du\\ dv\end{array}\right)=-\frac{1}{J}\left(\begin{array}{cc}{F}_x{G}_v-F_v{G}_x& F_y{G}_v-F_v{G}_y\\ F_u{G}_x-F_x{G}_u& F_u{G}_y-F_y{G}_u\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right)$$

即

$$\left(\begin{array}{c}du\\ dv\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)}& -\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,v)}\\ -\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,x)}& -\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,y)}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right)$$

Step 5：与全微分公式比对，读出偏导数： 将上式与

$$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy,dv=\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy$$

比对系数，即得与 Cramer 法则完全相同的结果：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)},\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,x)}$$ $$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,v)},\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,y)}$$

全微分法的优势：不需要记忆四个公式，只需写出微分方程组，用矩阵求逆或消元法解出 $du,dv$，直接比对 $dx,dy$ 的系数即可。在具体数值计算中尤为方便。

例 4（隐函数组求偏导）：设方程组

$$\{\begin{array}{l}xu+yv=1\\ xv-yu=0\end{array}$$

确定隐函数 $u=u(x,y),v=v(x,y)$。求在点 $(x,y,u,v)=(1,0,1,0)$ 处的全部一阶偏导数。

解：令 $F=xu+yv-1$，$G=xv-yu$。 先计算偏导数：

$$F_x=u,F_y=v,F_u=x,F_v=y$$ $$G_x=v,G_y=-u,G_u=-y,G_v=x$$

在点 $(x,y,u,v)=(1,0,1,0)$ 处：

$$F_x=1,F_y=0,F_u=1,F_v=0$$ $$G_x=0,G_y=-1,G_u=0,G_v=1$$

雅可比行列式：

$$J=\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1\ne 0$$

存在性满足。

代入公式：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{1}\left|\begin{array}{cc}{F}_x& F_v\\ G_x& G_v\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=-1$$ $$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{1}\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_x\\ G_u& G_x\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right|=0$$ $$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{1}\left|\begin{array}{cc}{F}_y& F_v\\ G_y& G_v\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ -1& 1\end{array}\right|=0$$ $$\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{1}\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_y\\ G_u& G_y\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right|=-(1\cdot (-1)-0\cdot 0)=1$$

汇总：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=-1,\frac{\partial v}{\partial x}=0,\frac{\partial u}{\partial y}=0,\frac{\partial v}{\partial y}=1$$

---

例 5（全微分法解题）：用全微分法重做例 4。

对方程组两边取全微分：

$$\{\begin{array}{l}udx+xdu+vdy+ydv=0\\ vdx+xdv-udy-ydu=0\end{array}$$

代入 $(x,y,u,v)=(1,0,1,0)$：

$$\{\begin{array}{l}1\cdot dx+1\cdot du+0\cdot dy+0\cdot dv=0\Rightarrow dx+du=0\\ 0\cdot dx+1\cdot dv-1\cdot dy-0\cdot du=0\Rightarrow dv-dy=0\end{array}$$

即 $du=-dx$，$dv=dy$。比对 $du=u_{x}dx+u_{y}dy$，$dv=v_{x}dx+v_{y}dy$ 得：

$$u_x=-1,u_y=0,v_x=0,v_y=1$$

与公式法完全一致。

全微分法在具体数值点处计算非常简便——直接代值，消元即可。

反函数组与坐标变换——推导

设有变换

$$\{\begin{array}{l}u=u(x,y)\\ v=v(x,y)\end{array}$$

若在 $P_0(x_0,y_0)$ 处 $u,v$ 有连续偏导数且雅可比行列式

$$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\ne 0$$

则在该点邻域内存在反变换 $x=x(u,v),y=y(u,v)$，且反变换的雅可比行列式满足

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\cdot \frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=1$$

推导：令 $F(x,y,u,v)=u(x,y)-u=0$，$G(x,y,u,v)=v(x,y)-v=0$，此时 $u,v$ 为自变量，$x,y$ 为隐函数。雅可比行列式（关于 $x,y$）为

$$\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}=\left|\begin{array}{cc}{F}_x& F_y\\ G_x& G_y\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{u}_x& u_y\\ v_x& v_y\end{array}\right|=\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\ne 0$$

由隐函数组存在定理，在 $(u_0,v_0)$ 邻域内存在 $x=x(u,v),y=y(u,v)$。

两个雅可比行列式互为倒数的证明：由复合求导，恒等式 $u(x(u,v),y(u,v))\equiv u$ 对 $u$ 求偏导：

$$\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}=1,\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}=0$$

同理对 $v$：

$$\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}=0,\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}=1$$

写成矩阵：

$$\left(\begin{array}{cc}{u}_x& u_y\\ v_x& v_y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{x}_u& x_v\\ y_u& y_v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

两边取行列式即得 $\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\cdot \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=1$。

反函数组的一阶偏导数公式：由矩阵方程

$$\left(\begin{array}{cc}{x}_u& x_v\\ y_u& y_v\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}{u}_x& u_y\\ v_x& v_y\end{array}\right)}^{-1}$$

记 $J_f=\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=u_x{v}_y-u_y{v}_x\ne 0$，由 $2\times 2$ 逆矩阵公式：

$$\left(\begin{array}{cc}{x}_u& x_v\\ y_u& y_v\end{array}\right)=\frac{1}{J_f}\left(\begin{array}{cc}{v}_y& -u_y\\ -v_x& u_x\end{array}\right)$$

即得到反函数组的全部一阶偏导数：

$$\boxed{\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{v_y}{J_f},\frac{\partial x}{\partial v}=-\frac{u_y}{J_f},\frac{\partial y}{\partial u}=-\frac{v_x}{J_f},\frac{\partial y}{\partial v}=\frac{u_x}{J_f}}$$

注意分子分母的对应规律：$\frac{\partial x}{\partial u}$ 的分子是 $v_y$（除去与 $u$ 对应的 $x$ 列和 $u$ 行后”交叉”剩余元素），本质上就是 Cramer 法则通过伴随矩阵求逆的结果。

例 6（极坐标变换）：$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，求其反变换的雅可比行列式。 解：先算正向雅可比：

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=\left|\begin{array}{cc}{x}_r& x_{\theta }\\ y_r& y_{\theta }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right|=r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta =r$$

当 $r\ne 0$（即不在原点）时，$\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}\ne 0$，存在反变换，且

$$\frac{\partial (r,\theta )}{\partial (x,y)}=\frac{1}{r}$$

进一步，用反函数偏导数公式写出具体的偏导数。记 $J_f=x_r{y}_{\theta }-x_{\theta }{y}_r=r$，则

$$\begin{array}{rlrl}\frac{\partial r}{\partial x}& =\frac{y_{\theta }}{J_f}=\frac{r\cos \theta }{r}=\cos \theta ,& \frac{\partial r}{\partial y}& =-\frac{x_{\theta }}{J_f}=\frac{r\sin \theta }{r}=\sin \theta \\ \frac{\partial \theta }{\partial x}& =-\frac{y_r}{J_f}=-\frac{\sin \theta }{r},& \frac{\partial \theta }{\partial y}& =\frac{x_r}{J_f}=\frac{\cos \theta }{r}\end{array}$$

这些偏导数在微分方程、积分换元中频繁使用。

例 7（弦振动方程的坐标变换）：设有一维波动方程（弦振动方程）：

$$a^2\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^2}=\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}(a>0),$$

其中 $\phi (x,t)$ 具有二阶连续偏导数。试问此方程在坐标变换

$$T:u=x+at,v=x-at$$

之下将变成何种形式？

解：视 $u,v$ 为新自变量，$\phi$ 通过 $u,v$ 依赖于 $x,t$。先算一阶偏导数：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=1,\frac{\partial u}{\partial t}=a,\frac{\partial v}{\partial x}=1,\frac{\partial v}{\partial t}=-a$$

由链式法则：

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \phi }{\partial x}& =\frac{\partial \phi }{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial \phi }{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}={\phi }_u+{\phi }_v\\ \frac{\partial \phi }{\partial t}& =\frac{\partial \phi }{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial \phi }{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=a{\phi }_u-a{\phi }_v\end{array}$$

再求二阶偏导数。注意到 ${\phi }_u$ 和 ${\phi }_v$ 仍通过 $(u,v)$ 依赖于 $(x,t)$，求导时需继续用链式法则：

$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^2}& =\frac{\partial }{\partial x}({\phi }_u+{\phi }_v)=({\phi }_{uu}\cdot 1+{\phi }_{uv}\cdot 1)+({\phi }_{vu}\cdot 1+{\phi }_{vv}\cdot 1)\\ & ={\phi }_{uu}+2{\phi }_{uv}+{\phi }_{vv}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}& =\frac{\partial }{\partial t}(a{\phi }_u-a{\phi }_v)=a[({\phi }_{uu}\cdot a+{\phi }_{uv}\cdot (-a))-({\phi }_{vu}\cdot a+{\phi }_{vv}\cdot (-a))]\\ & =a^2({\phi }_{uu}-2{\phi }_{uv}+{\phi }_{vv})\end{array}$$

代入原方程 $a^2{\phi }_{xx}={\phi }_{tt}$：

$$a^2({\phi }_{uu}+2{\phi }_{uv}+{\phi }_{vv})=a^2({\phi }_{uu}-2{\phi }_{uv}+{\phi }_{vv})$$

消去 $a^2$，合并同类项：

$$4{\phi }_{uv}=0$$

即

$$\boxed{\frac{{\partial }^2\phi }{\partial u\partial v}=0}$$

原二阶偏微分方程化为了极其简单的混合偏导数形式。由此可直接积分得到通解： $\phi =f(u)+g(v)=f(x+at)+g(x-at)$ 其中 $f,g$ 是任意二阶可微函数，此即 d’Alembert 公式（行波解）——$f(x+at)$ 表示以速度 $a$ 向左传播的波，$g(x-at)$ 表示以速度 $a$ 向右传播的波。

雅可比验证：该变换的雅可比行列式

$$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,t)}=\left|\begin{array}{cc}1& a\\ 1& -a\end{array}\right|=-2a\ne 0(a>0)$$

故变换可逆，$(x,t)$ 与 $(u,v)$ 之间是一一对应的坐标变换。

隐函数的几何应用

平面曲线的切线

设平面曲线由隐函数方程 $F(x,y)=0$ 给出，$P_0(x_0,y_0)$ 是曲线上一点（$F(P_0)=0$），且 $F$ 在 $P_0$ 处有连续偏导数。

切向量：由隐函数求导公式 $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$（设 $F_y\ne 0$），切向量可取为

$$\mathbf{T}=(1,-\frac{F_x}{F_y})\parallel (F_y,-F_x)$$

更对称的形式是将切向量取为 $(F_y,-F_x)$，其与梯度 $\nabla F=(F_x,F_y)$ 的内积为零：

$$(F_x,F_y)\cdot (F_y,-F_x)=F_x{F}_y-F_y{F}_x=0$$

切线方程：利用梯度与切线垂直的几何性质，切线方程为

$$F_x(x_0,y_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0$$

法线方程：法线方向即梯度方向 $(F_x,F_y)$：

$$\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0)}$$

若 $F_y=0$ 而 $F_x\ne 0$（切线竖直），则切线为 $x=x_0$，法线为 $y=y_0$。这与隐函数存在定理的条件恰好对应——$F_y\ne 0$ 时可把 $y$ 看作 $x$ 的函数来求切线斜率。

例 8（椭圆的切线）：求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的切线方程。

令 $F(x,y)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0$。

$$F_x=\frac{2x}{a^2},F_y=\frac{2y}{b^2}$$

切线方程：

$$\frac{2x_0}{a^2}(x-x_0)+\frac{2y_0}{b^2}(y-y_0)=0$$

化简得

$$\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$$

即

$$\boxed{\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1}$$

空间曲线的切线与法平面

空间曲线通常作为两曲面的交线给出：

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$

设 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 在曲线上，$F,G$ 在 $P_0$ 的邻域内有连续偏导数，且 $\nabla F$ 与 $\nabla G$ 在 $P_0$ 处不共线（保证两曲面在该点横截相交）。

切向量：曲线在 $P_0$ 处的切向量 $\mathbf{T}$ 同时与两曲面的法向量 $\nabla F,\nabla G$ 垂直，故 $\mathbf{T}\parallel \nabla F\times \nabla G$。

切向量公式：

$$\mathbf{T}=\nabla F\times \nabla G=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ F_x& F_y& F_z\\ G_x& G_y& G_z\end{array}\right|=\left(\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)},\frac{\partial (F,G)}{\partial (z,x)},\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}\right)$$

记 $\mathbf{T}=(m,n,p)$。

法平面（过 $P_0$ 且以 $\mathbf{T}$ 为法向量）：

$$m(x-x_0)+n(y-y_0)+p(z-z_0)=0$$

切线方程：

$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$

若某个分母为零（如 $p=0$），则对应坐标恒为 $z=z_0$。

方法一：隐函数法（约化为单参数）

若在 $P_0$ 处 $\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}\ne 0$，由隐函数组存在定理，可从方程组中解出 $y=y(x),z=z(x)$。对 $x$ 求导：

$$\{\begin{array}{l}{F}_x+F_y{y}^{\prime }+F_z{z}^{\prime }=0\\ G_x+G_y{y}^{\prime }+G_z{z}^{\prime }=0\end{array}$$

用 Cramer 法则解得

$$y^{\prime }(x_0)=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,z)},z^{\prime }(x_0)=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,x)}$$

其中 $J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}$。以 $x$ 为参数的切向量为 $\mathbf{T}=(1,y^{\prime }(x_0),z^{\prime }(x_0))$，乘以 $J$ 后恰与 $\nabla F\times \nabla G$ 重合。

方法二：混合积法（直接外积）

直接计算 $\mathbf{T}=\nabla F\times \nabla G$，不必事先验证哪一个雅可比行列式不为零。步骤如下：

1. 写出 $\nabla F=(F_x,F_y,F_z)$，$\nabla G=(G_x,G_y,G_z)$；
2. 计算三阶行列式得到 $(m,n,p)$；
3. 代入法平面和切线方程。

两种方法本质等价——隐函数法给出切向量的” $(1,y^{\prime },z^{\prime })$ “表达，混合积法给出对称的 Jacobian 表达，后者在对称性强的题目中计算更直接。

例 9（空间曲线——球面与平面交线）：求曲线

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=6\\ x+y+z=0\end{array}$$

在点 $P_0(1,1,-2)$ 处的切线方程与法平面方程。

解：令 $F=x^2+y^2+z^2-6$，$G=x+y+z$。

混合积法：

$$\nabla F=(2x,2y,2z),\nabla G=(1,1,1)$$

在 $P_0(1,1,-2)$ 处：$\nabla F=(2,2,-4)$，$\nabla G=(1,1,1)$。

$$\mathbf{T}=\nabla F\times \nabla G=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 2& 2& -4\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=\mathbf{i}(2-(-4))-\mathbf{j}(2-(-4))+\mathbf{k}(2-2)=(6,-6,0)$$

取 $\mathbf{T}=(1,-1,0)$ 即可。

切线方程：

$$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{0}$$

即 $\{\begin{array}{l}x-1=-(y-1)\\ z=-2\end{array}$，化简为 $\{\begin{array}{l}x+y=2\\ z=-2\end{array}$。

法平面方程（以 $\mathbf{T}=(1,-1,0)$ 为法向量）：

$$1\cdot (x-1)+(-1)\cdot (y-1)+0\cdot (z+2)=0$$

即 $x-y=0$。

曲面的切平面与法线

设曲面由隐函数方程 $F(x,y,z)=0$ 给出，$P_0(x_0,y_0,z_0)$ 为曲面上一点，且 $F$ 在 $P_0$ 处有连续偏导数，$\nabla F(P_0)\ne 0$。

一般形式

法向量：梯度 $\nabla F=(F_x,F_y,F_z)$。

切平面：

$$F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0$$

法线：

$$\frac{x-x_0}{F_x(P_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(P_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(P_0)}$$

显函数形式 $z=f(x,y)$

令 $F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$，则 $F_x=f_x$，$F_y=f_y$，$F_z=-1$。

切平面：

$$z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$$

法线：

$$\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}$$

显函数形式是一般隐函数形式的特例。法向量 $(f_x,f_y,-1)$ 中 $z$ 分量为 $-1$ 是因为方程写成了 $f(x,y)-z=0$。

例 10（旋转抛物面）：求曲面 $z=x^2+y^2$ 在点 $(1,1,2)$ 处的切平面与法线方程。

令 $F(x,y,z)=x^2+y^2-z$。

$$F_x=2x,F_y=2y,F_z=-1$$

在 $(1,1,2)$ 处：$\nabla F=(2,2,-1)$。

切平面：

$$2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0⟹2x+2y-z=2$$

法线：

$$\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}$$

例 11（单位球面）：求球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 在点 $P_0\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 处的切平面与法线。

令 $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1$。在 $P_0$ 处：

$$\nabla F=\left(\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$$

切平面：

$$\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\frac{2}{\sqrt{3}}\left(y-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\frac{2}{\sqrt{3}}\left(z-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0$$

化简得 $x+y+z=\sqrt{3}$。

法线：$\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}$，即 $x=y=z$（过原点且沿 $(1,1,1)$ 方向的直线）。

条件极值

问题的提法

设目标函数 $f$ 在开集 $D\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 上有定义。要求在约束条件（也称约束方程）

$$g_k(x_1,\dots ,x_n)=0(k=1,\dots ,m,m<n)$$

之下 $f$ 的极值，称为条件极值（或约束极值），$g_k=0$ 称为约束曲面。

无条件极值是条件极值在 $m=0$ 时的特例。条件极值的困难在于：$f$ 的自变量并非在 ${\mathbb{R}}^n$ 的开子集上自由变动，而是限制在由约束方程确定的低维曲面上。

与隐函数定理的联系：若约束方程组的雅可比矩阵在极值点处满秩（$\mathrm{rank}=m$），则隐函数定理保证该点附近 $m$ 个变量可由其余 $n-m$ 个变量表出，从而条件极值问题可约化为无约束极值。拉格朗日乘数法正是利用这一思想，但避免显式解出隐函数。

拉格朗日乘数法

一个约束条件的情形

求 $f(x,y)$ 在 $g(x,y)=0$ 下的极值。

几何直觉：约束曲线 $g(x,y)=0$ 上，$f$ 在极值点处沿切线方向的方向导数应为零，即 $\nabla f$ 与切线正交。而 $\nabla g$ 也正交于切线，故 $\nabla f\parallel \nabla g$，即

$$\nabla f+\lambda \nabla g=0$$

其中 $\lambda$ 为比例系数，称为拉格朗日乘数。

拉格朗日函数（Lagrange function / Lagrangian）：

$$L(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda g(x,y)$$

其中 $\lambda \in \mathbb{R}$ 为辅助变量（未定乘数）。

极值必要条件：若 $P_0(x_0,y_0)$ 是条件极值点且 $\nabla g(P_0)\ne 0$，则存在 ${\lambda }_0$ 使得 $(x_0,y_0,{\lambda }_0)$ 是 $L$ 的驻点：

$$\{\begin{array}{l}{L}_x=f_x+\lambda g_x=0\\ L_y=f_y+\lambda g_y=0\\ L_{\lambda }=g(x,y)=0\end{array}$$

三个方程解三个未知数 $(x,y,\lambda )$。解出的 $(x,y)$ 即为条件极值的候选点。

多个约束条件的情形

求 $f(x_1,\dots ,x_n)$ 在 $g_1=\cdots =g_m=0$ 下的极值。

拉格朗日函数：

$$L(x_1,\dots ,x_n,{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m)=f+{\lambda }_1{g}_1+\cdots +{\lambda }_m{g}_m$$

驻点方程（$n+m$ 个方程）：

$$\{\begin{array}{ll}\frac{\partial L}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial x_i}+\sum _{k=1}^m{\lambda }_k\frac{\partial g_k}{\partial x_i}=0& (i=1,\dots ,n)\\ \frac{\partial L}{\partial {\lambda }_k}=g_k=0& (k=1,\dots ,m)\end{array}$$

几何意义：$\nabla f$ 落在 $\nabla g_1,\dots ,\nabla g_m$ 张成的空间中，即

$$\nabla f=-\sum _{k=1}^m{\lambda }_k\nabla g_k$$

这表示沿约束曲面任何切方向的方向导数均为零。

典型例题

例 12（圆上线性函数的极值）：求 $f(x,y)=x+y$ 在 $x^2+y^2=1$ 下的最大值与最小值。

解：令 $L(x,y,\lambda )=x+y+\lambda (x^2+y^2-1)$。

$$\{\begin{array}{ll}{L}_x=1+2\lambda x=0& \Rightarrow x=-\frac{1}{2\lambda }\\ L_y=1+2\lambda y=0& \Rightarrow y=-\frac{1}{2\lambda }\\ L_{\lambda }=x^2+y^2-1=0& \end{array}$$

由前两式 $x=y$，代入约束方程：$2x^2=1\Rightarrow x=y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。

对应 $\lambda =-\frac{1}{2x}=\mp \frac{1}{\sqrt{2}}$。

• $P_1\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$：$f=\sqrt{2}$（最大值）
• $P_2\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$：$f=-\sqrt{2}$（最小值）

几何意义：$f=x+y$ 是平行直线族，与单位圆相切处取得极值，切点恰在 $45^{\circ }$ 线 $y=x$ 上。

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例 13（距离问题）：求原点到平面 $x+2y+3z=6$ 的最短距离。

解：等价于求 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ 在 $g(x,y,z)=x+2y+3z-6=0$ 下的最小值。

令 $L=x^2+y^2+z^2+\lambda (x+2y+3z-6)$。

$$\{\begin{array}{ll}{L}_x=2x+\lambda =0& \Rightarrow x=-\frac{\lambda }{2}\\ L_y=2y+2\lambda =0& \Rightarrow y=-\lambda \\ L_z=2z+3\lambda =0& \Rightarrow z=-\frac{3\lambda }{2}\\ L_{\lambda }=x+2y+3z-6=0& \end{array}$$

将 $x,y,z$ 用 $\lambda$ 表出后代入约束：

$$\left(-\frac{\lambda }{2}\right)+2(-\lambda )+3\left(-\frac{3\lambda }{2}\right)-6=0$$ $$-\frac{\lambda }{2}-2\lambda -\frac{9\lambda }{2}-6=0\Rightarrow -7\lambda -6=0\Rightarrow \lambda =-\frac{6}{7}$$

回代得 $x=\frac{3}{7},y=\frac{6}{7},z=\frac{9}{7}$。

最短距离：$\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{\frac{9+36+81}{49}}=\sqrt{\frac{126}{49}}=\sqrt{\frac{18}{7}}=\frac{3\sqrt{14}}{7}$。

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例 14（最大体积——双约束）：求长方体在约束 $x+y+z=a$ 且 $x,y,z>0$ 之下，体积 $V=xyz$ 的最大值。

解：这是单约束问题。令 $L=xyz+\lambda (x+y+z-a)$。

$$\{\begin{array}{l}{L}_x=yz+\lambda =0\\ L_y=xz+\lambda =0\\ L_z=xy+\lambda =0\\ L_{\lambda }=x+y+z-a=0\end{array}$$

前两式给出 $yz=xz$，由 $z>0$ 得 $x=y$。同理 $y=z$，故 $x=y=z=\frac{a}{3}$。此时 $V_{\max }=\frac{a^3}{27}$。

几何意义：在固定三边和之下，正方体体积最大——这是均值不等式 $xyz\le {\left(\frac{x+y+z}{3}\right)}^3$ 的几何印证。

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例 15（球面与平面交线上的极值）：求 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ 在约束

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ x^2+y^2=1\end{array}$$

下的极值。

解：双约束问题。令 $L=x^2+y^2+z^2+\lambda (x+y+z-1)+\mu (x^2+y^2-1)$。

$$\{\begin{array}{ll}{L}_x=2x+\lambda +2\mu x=0& (1)\\ L_y=2y+\lambda +2\mu y=0& (2)\\ L_z=2z+\lambda =0& (3)\\ L_{\lambda }=x+y+z-1=0& (4)\\ L_{\mu }=x^2+y^2-1=0& (5)\end{array}$$

由 (3) 得 $\lambda =-2z$。由 (5) 令 $x=\cos t,y=\sin t$ 并代入 (4)：$z=1-\cos t-\sin t$。

代入 (1)：$2\cos t-2(1-\cos t-\sin t)+2\mu \cos t=0$。整理：

$$2\cos t-2+2\cos t+2\sin t+2\mu \cos t=0\Rightarrow (4+2\mu )\cos t+2\sin t-2=0$$

由 (2) 类似：$(4+2\mu )\sin t+2\cos t-2=0$。

两式相减：$(4+2\mu )(\cos t-\sin t)-2(\cos t-\sin t)=0\Rightarrow (2+2\mu )(\cos t-\sin t)=0$。

• 若 $\cos t=\sin t$，则由 $x^2+y^2=1$ 得 $x=y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。此时 $z=1\mp \sqrt{2}$，$f=x^2+y^2+z^2=1+(1\mp \sqrt{2}{)}^2$。

  • $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}},z=1-\sqrt{2}$：$f=1+(1-\sqrt{2}{)}^2=1+(3-2\sqrt{2})=4-2\sqrt{2}$
  • $x=y=-\frac{1}{\sqrt{2}},z=1+\sqrt{2}$：$f=1+(1+\sqrt{2}{)}^2=1+(3+2\sqrt{2})=4+2\sqrt{2}$

• 若 $\mu =-1$，代入 (1)：$2x-2z-2x=0\Rightarrow z=0$，则 $x+y=1$。联立 $x^2+y^2=1$ 与 $x+y=1$：

  $$(x+y{)}^2=1\Rightarrow x^2+y^2+2xy=1\Rightarrow 1+2xy=1\Rightarrow xy=0$$

  结合 $x+y=1$ 得解 $(x,y)=(1,0)$ 或 $(0,1)$，此时 $z=0$，$f=1$。

综上比较：$f_{\min }=1$（在 $(1,0,0)$ 和 $(0,1,0)$），$f_{\max }=4+2\sqrt{2}$（在 $(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},1+\sqrt{2})$）。

含参量积分

含参量积分的定义

含参量常义积分

设二元函数 $f(x,y)$ 定义在矩形 $R=[a,b]\times [c,d]$ 上。对每个固定的 $y\in [c,d]$，$f(x,y)$ 看作 $x$ 的一元函数在 $[a,b]$ 上可积，则其积分值随 $y$ 变化，定义了一个含参量积分：

$$\phi (y)={\int }_a^{b}f(x,y)dx,y\in [c,d]$$

同样可定义变上限的含参量积分：

$$\Phi (u,y)={\int }_a^{u}f(x,y)dx$$

含参量积分将一个二元函数”压缩”为一元函数：$y$ 作为参数进入被积函数，积分结果只依赖于 $y$。

连续性定理

若 $f(x,y)$ 在矩形 $R$ 上连续，则 $\phi (y)={\int }_a^{b}f(x,y)dx$ 在 $[c,d]$ 上连续。

等价表述（极限与积分交换）：

$$\underset{y\to y_0}{\lim }{\int }_a^{b}f(x,y)dx={\int }_a^b\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)dx$$

相关：一致收敛的性质（连续性）

可积性定理

若 $f(x,y)$ 在矩形 $R$ 上连续，则 $\phi (y)={\int }_a^{b}f(x,y)dx$ 在 $[c,d]$ 上可积，且积分次序可交换：

$${\int }_c^d\phi (y)dy={\int }_c^d\left({\int }_a^{b}f(x,y)dx\right)dy={\int }_a^b\left({\int }_c^{d}f(x,y)dy\right)dx$$

此即常义积分的 Fubini 定理——连续函数在矩形上的二重积分与累次积分次序无关。

可微性定理（Leibniz 法则）

若 $f(x,y)$ 及 $f_y(x,y)$ 在矩形 $R$ 上连续，则 $\phi (y)={\int }_a^{b}f(x,y)dx$ 在 $[c,d]$ 上可导，且求导与积分可交换：

$${\phi }^{\prime }(y)=\frac{d}{dy}{\int }_a^{b}f(x,y)dx={\int }_a^b\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)dx$$

一般形式（上下限也含参量）：若 $a(y),b(y)$ 可导，则

$$\frac{d}{dy}{\int }_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dx=f(b(y),y)b^{\prime }(y)-f(a(y),y)a^{\prime }(y)+{\int }_{a(y)}^{b(y)}\frac{\partial f}{\partial y}dx$$

含参量反常积分

含参量反常积分的定义

无穷区间情形：设 $f(x,y)$ 定义在 $[a,+\infty )\times [c,d]$ 上，对每个固定的 $y\in [c,d]$，无穷积分收敛：

$$I(y)={\int }_a^{+\infty }f(x,y)dx=\underset{A\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{A}f(x,y)dx$$

无界函数情形：设对固定的 $y$，$f(x,y)$ 在 $x=b$ 处瑕积分收敛：

$$I(y)={\int }_a^{b}f(x,y)dx=\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }{\int }_a^{b-\epsilon }f(x,y)dx$$

两者统称为含参量反常积分，$y$ 为参量。

一致收敛的定义

定义：设对每个 $y\in [c,d]$，含参量无穷积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x,y)dx$ 收敛于 $I(y)$。若

$$\forall \epsilon >0,\exists A_0\ge a,\forall A>A_0,\forall y\in [c,d]:\left|{\int }_A^{+\infty }f(x,y)dx\right|<\epsilon$$

则称该含参量反常积分关于 $y\in [c,d]$ 一致收敛。

等价表述（Cauchy 准则）：含参量反常积分关于 $y\in [c,d]$ 一致收敛的充要条件是

$$\forall \epsilon >0,\exists A_0\ge a,\forall A_1,A_2>A_0,\forall y\in [c,d]:\left|{\int }_{A_1}^{A_2}f(x,y)dx\right|<\epsilon$$

瑕积分情形（设 $x=b$ 为瑕点）：关于 $y\in [c,d]$ 一致收敛的充要条件是

$$\forall \epsilon >0,\exists \eta >0,\forall {\eta }_1,{\eta }_2\in (0,\eta ),\forall y\in [c,d]:\left|{\int }_{b-{\eta }_1}^{b-{\eta }_2}f(x,y)dx\right|<\epsilon$$

一致收敛的关键：公共的 $A_0$（或 $\eta$）对所有 $y$ 同时有效。逐点收敛中 $A_0$ 可依赖于 $y$。

一致收敛判别法

控制收敛判别法（Weierstrass / M-判别法）

若有函数 $F(x)$ 满足

$$|f(x,y)|\le F(x),\forall x\in [a,+\infty ),\forall y\in [c,d]$$

且 ${\int }_a^{+\infty }F(x)dx$ 收敛，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x,y)dx$ 关于 $y\in [c,d]$ 一致收敛。

$F(x)$ 称为 $f(x,y)$ 的控制函数（优函数）。

此为最常用的一致收敛判别法——找到与 $y$ 无关的强于 $|f|$ 的可积函数即可。

例：证明 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin xy}{1+x^2}dx$ 关于 $y\in \mathbb{R}$ 一致收敛。

解：$\left|\frac{\sin xy}{1+x^2}\right|\le \frac{1}{1+x^2}$，而 ${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi }{2}$ 收敛，故一致收敛。

Dirichlet 判别法

设：

1. ${\int }_a^{A}f(x,y)dx$ 关于 $A$ 和 $y$ 一致有界，即 $\exists M>0,\forall A\ge a,\forall y\in [c,d]:\left|{\int }_a^{A}f(x,y)dx\right|\le M$；
2. $g(x)$ 单调趋于 $0$（$x\to +\infty$），且与 $y$ 无关。

则 ${\int }_a^{+\infty }f(x,y)g(x)dx$ 关于 $y\in [c,d]$ 一致收敛。

这是 Dirichlet 判别法在含参量反常积分中的推广，关键在于 $g(x)$ 与 $y$ 无关。

例：证明 ${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin xy}{x}dx$ 关于 $y\in [\delta ,+\infty )$（$\delta >0$）一致收敛。

解：取 $f(x,y)=\sin xy$，$g(x)=\frac{1}{x}$。对任意 $A\ge 1$，$\left|{\int }_1^A\sin xydx\right|=\left|\frac{1-\cos Ay}{y}\right|\le \frac{2}{\delta }$，一致有界；$g(x)$ 单调趋于 $0$，与 $y$ 无关。故由 Dirichlet 判别法知一致收敛。

Abel 判别法

设：

1. ${\int }_a^{+\infty }f(x,y)dx$ 关于 $y\in [c,d]$ 一致收敛；
2. $g(x)$ 单调有界（与 $y$ 无关）。

则 ${\int }_a^{+\infty }f(x,y)g(x)dx$ 关于 $y\in [c,d]$ 一致收敛。

一致收敛的性质（连续性）

连续性定理

若 $f(x,y)$ 在 $[a,+\infty )\times [c,d]$ 上连续，且 $I(y)={\int }_a^{+\infty }f(x,y)dx$ 关于 $y\in [c,d]$ 一致收敛，则 $I(y)$ 在 $[c,d]$ 上连续。

等价地，极限与积分可交换：

$$\underset{y\to y_0}{\lim }{\int }_a^{+\infty }f(x,y)dx={\int }_a^{+\infty }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)dx$$

对比常义积分情形，反常积分需要一致收敛才能保证极限与积分交换。

可积性定理

若 $f(x,y)$ 在 $[a,+\infty )\times [c,d]$ 上连续，且 ${\int }_a^{+\infty }f(x,y)dx$ 关于 $y\in [c,d]$ 一致收敛，则 $I(y)$ 在 $[c,d]$ 上可积，且积分次序可交换：

$${\int }_c^d\left({\int }_a^{+\infty }f(x,y)dx\right)dy={\int }_a^{+\infty }\left({\int }_c^{d}f(x,y)dy\right)dx$$

可微性定理

若 $f(x,y)$ 及 $f_y(x,y)$ 在 $[a,+\infty )\times [c,d]$ 上连续，且

1. $\phi (y)={\int }_a^{+\infty }f(x,y)dx$ 在 $[c,d]$ 上收敛；
2. ${\int }_a^{+\infty }{f}_y(x,y)dx$ 关于 $y\in [c,d]$ 一致收敛。

则 $\phi (y)$ 在 $[c,d]$ 上可导，且求导与积分可交换：

$${\phi }^{\prime }(y)=\frac{d}{dy}{\int }_a^{+\infty }f(x,y)dx={\int }_a^{+\infty }\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)dx$$

欧拉积分

Γ 函数（伽玛函数）

定义

$$\Gamma (s)={\int }_0^{+\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx,s>0$$

这是第二类欧拉积分。$s\le 0$ 时发散（$x=0$ 处 $x^{s-1}$ 的瑕积分发散）。

$\Gamma (s)$ 是含参量反常积分的经典例子——既有无穷区间又有瑕点（当 $0<s<1$ 时 $x=0$ 为瑕点）。

基本性质

1. 递推公式：$\Gamma (s+1)=s\Gamma (s),s>0$

推导：分部积分

$$\Gamma (s+1)={\int }_0^{+\infty }{x}^s{e}^{-x}dx={\left[-x^s{e}^{-x}\right]}_0^{+\infty }+s{\int }_0^{+\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx=s\Gamma (s)$$

2. 与阶乘的关系：$\Gamma (n+1)=n!(n\in \mathbb{N})$

由递推公式和 $\Gamma (1)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}dx=1$ 即得。$\Gamma$ 函数是阶乘在正实数上的解析延拓。

3. 定义域延拓：利用递推公式 $\Gamma (s)=\frac{\Gamma (s+1)}{s}$，可将 $\Gamma (s)$ 解析延拓到 $\mathbb{C}\setminus \{0,-1,-2,\dots \}$。

其他常见形式

• 令 $x=t^2$：$\Gamma (s)=2{\int }_0^{+\infty }{t}^{2s-1}{e}^{-t^2}dt$
• 令 $x=pt$（$p>0$）：$\Gamma (s)=p^s{\int }_0^{+\infty }{t}^{s-1}{e}^{-pt}dt$

B 函数（贝塔函数）

定义

$$B(p,q)={\int }_0^1{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}dx,p>0,q>0$$

这是第一类欧拉积分。当 $p\ge 1$ 且 $q\ge 1$ 时是常义积分；否则 $x=0$ 或 $x=1$ 为瑕点。

基本性质

1. 对称性：$B(p,q)=B(q,p)$

推导：作代换 $t=1-x$，积分限不变，$p,q$ 互换。

2. 递推公式：

$$B(p+1,q)=\frac{p}{p+q}B(p,q),B(p,q+1)=\frac{q}{p+q}B(p,q)$$

3. 三角形式（令 $x={\sin }^2\theta$）：

$$B(p,q)=2{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2p-1}\theta {\cos }^{2q-1}\theta d\theta$$

特例：

• $B(1,1)={\int }_0^{1}dx=1$
• $B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=2{\int }_0^{\pi /2}d\theta =\pi$

4. 另一种常见形式（令 $x=\frac{t}{1+t}$）：

$$B(p,q)={\int }_0^{+\infty }\frac{t^{p-1}}{(1+t{)}^{p+q}}dt$$

Γ 函数与 B 函数的关系

$$B(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)},p>0,q>0$$

推导思路：

1. 用 $\Gamma$ 函数的变形 $\Gamma (p)=t^p{\int }_0^{+\infty }{u}^{p-1}{e}^{-tu}du$；
2. 计算乘积 $\Gamma (p)\Gamma (q)$，化为二重积分；
3. 通过变量变换（$u=xv/(1+x),t=1+x$ 等）转化为 B 函数的积分形式。

应用：将含 B 函数的问题转化为 Γ 函数问题（或反之），利用 Γ 函数的递推公式简化计算。

例：计算 ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^5\theta {\cos }^3\theta d\theta$。

解：利用 B 函数的三角形式，$2p-1=5\Rightarrow p=3$，$2q-1=3\Rightarrow q=2$。

$$I=\frac{1}{2}B(3,2)=\frac{1}{2}\frac{\Gamma (3)\Gamma (2)}{\Gamma (5)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2!\cdot 1!}{4!}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{24}=\frac{1}{24}$$

曲线积分

第一型曲线积分

定义

设 $L$ 为 ${\mathbb{R}}^3$ 中一条可求长的曲线段，函数 $f(x,y,z)$ 定义在 $L$ 上。将 $L$ 任意分割为 $n$ 个小弧段 $\Delta s_1,\Delta s_2,\dots ,\Delta s_n$，在第 $i$ 个小弧段上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$，作积分和：

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta s_i$$

若当分割的最大弧长 $\lambda =\max \{\Delta s_i\}\to 0$ 时，该和的极限存在且与分割方式和取点无关，则称此极限为 $f$ 沿曲线 $L$ 的第一型曲线积分（对弧长的曲线积分），记作

$${\int }_{L}f(x,y,z)ds$$

若 $L$ 为平面曲线，则简化为 ${\int }_{L}f(x,y)ds$。

物理意义：${\int }_L\rho (x,y,z)ds$ 表示线密度为 $\rho$ 的曲线型构件的质量。

性质

线性性质

对任意常数 $\alpha ,\beta$：

$${\int }_L[\alpha f(x,y,z)+\beta g(x,y,z)]ds=\alpha {\int }_{L}f(x,y,z)ds+\beta {\int }_{L}g(x,y,z)ds$$

分段可加性

若 $L$ 由 $L_1$ 和 $L_2$ 首尾相接而成（$L=L_1+L_2$），则

$${\int }_{L}fds={\int }_{L_1}fds+{\int }_{L_2}fds$$

保序性

若在 $L$ 上 $f(x,y,z)\le g(x,y,z)$，则

$${\int }_{L}fds\le {\int }_{L}gds$$

绝对值性质

$$\left|{\int }_{L}fds\right|\le {\int }_L\left|f\right|ds$$

积分中值定理

若 $f$ 在 $L$ 上连续，则存在 $(\xi ,\eta ,\zeta )\in L$，使得

$${\int }_{L}f(x,y,z)ds=f(\xi ,\eta ,\zeta )\cdot l(L)$$

其中 $l(L)$ 为曲线 $L$ 的弧长。

计算方法

核心思想：将曲线积分化为定积分。

参数方程法（一般方法）

设空间曲线 $L$ 有参数方程

$$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}t\in [\alpha ,\beta ]$$

且 $x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续（或分段连续）。则弧微元为

$$ds=\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2+[z^{\prime }(t){]}^2}dt$$

从而

$${\int }_{L}f(x,y,z)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2+[z^{\prime }(t){]}^2}dt$$

第一型曲线积分与曲线的方向无关（弧长不区分正向与反向），故积分限恒取 $\alpha \to \beta$（从小到大）。

直角坐标情形（$y=y(x)$）

平面曲线 $L:y=y(x),x\in [a,b]$，其中 $y^{\prime }(x)$ 连续。则 $ds=\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$：

$${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$$

同理，若曲线表为 $x=x(y),y\in [c,d]$，则 $ds=\sqrt{1+[x^{\prime }(y){]}^2}dy$。

极坐标情形

曲线 $L:r=r(\theta ),\theta \in [\alpha ,\beta ]$，则

$$ds=\sqrt{[r(\theta ){]}^2+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta$$ $${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\sqrt{r^2+[r^{\prime }{]}^2}d\theta$$

例 1：计算 ${\int }_L(x+y)ds$，其中 $L$ 为连接 $A(1,0)$ 与 $B(0,1)$ 的直线段。

解：直线方程 $x+y=1\Rightarrow y=1-x,x\in [0,1]$。$y^{\prime }=-1$，$ds=\sqrt{1+1}dx=\sqrt{2}dx$。

$${\int }_L(x+y)ds={\int }_0^1(x+1-x)\cdot \sqrt{2}dx={\int }_0^1\sqrt{2}dx=\sqrt{2}$$

例 2：计算 ${\int }_L\sqrt{x^2+y^2}ds$，其中 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=a^2$ 的上半部分（$y\ge 0$）。

解：参数方程 $x=a\cos t,y=a\sin t,t\in [0,\pi ]$。

$$ds=\sqrt{(-a\sin t{)}^2+(a\cos t{)}^2}dt=adt$$

被积函数 $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{a^2}=a$（在上半圆上）。

$${\int }_L\sqrt{x^2+y^2}ds={\int }_0^{\pi }a\cdot adt=\pi a^2$$

第二型曲线积分

定义

设 $L$ 为 ${\mathbb{R}}^3$ 中一条有向光滑曲线（给定了起点到终点的方向），向量函数

$$\mathbf{F}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$$

定义在 $L$ 上。将 $L$ 沿指定方向分割为 $n$ 个有向小弧段 $\overrightarrow{M_{i-1}{M}_i}$，在第 $i$ 段上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$，记有向弧段的投影为 $\Delta x_i,\Delta y_i,\Delta z_i$。作积分和：

$$\sum _{i=1}^n[P({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta x_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta y_i+R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta z_i]$$

当 $\lambda =\max \{\Delta s_i\}\to 0$ 时极限存在，则称其为 $\mathbf{F}$ 沿有向曲线 $L$ 的第二型曲线积分（对坐标的曲线积分），记作

$${\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz$$

对于平面向量场 $(P(x,y),Q(x,y))$：

$${\int }_{L}Pdx+Qdy$$

向量形式：

$${\int }_L\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz$$

其中 $d\mathbf{r}=(dx,dy,dz)$。

物理意义：${\int }_L\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ 表示力场 $\mathbf{F}$ 沿曲线 $L$ 对质点所作的功。

性质

线性性质

$${\int }_L(\alpha {\mathbf{F}}_1+\beta {\mathbf{F}}_2)\cdot d\mathbf{r}=\alpha {\int }_L{\mathbf{F}}_1\cdot d\mathbf{r}+\beta {\int }_L{\mathbf{F}}_2\cdot d\mathbf{r}$$

分段可加性

若 $L=L_1+L_2$（分段光滑），则

$${\int }_L\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_{L_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}+{\int }_{L_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$

方向性（关键区别）

记 $-L$ 为 $L$ 的反向曲线，则

$${\int }_{-L}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-{\int }_L\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$

第二型曲线积分依赖方向：反向积分反号。这是与第一型曲线积分最根本的区别。

计算公式

核心：将曲线用参数表示，代入化为定积分。

设空间有向曲线 $L$ 有参数方程

$$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}t:\alpha \to \beta (\alpha \text{ 对应起点},\beta \text{ 对应终点})$$

且 $x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t)$ 连续，则

$${\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz={\int }_{\alpha }^{\beta }[P{x}^{\prime }(t)+Q{y}^{\prime }(t)+R{z}^{\prime }(t)]dt$$

其中 $P=P(x(t),y(t),z(t))$ 等，即先将被积函数用参数表示，再乘以对应坐标的导数，最后按参数从起点到终点积分。

直角坐标情形（平面，$y=y(x)$）：$L:y=y(x),x:a\to b$，则

$${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_a^b[P(x,y(x))+Q(x,y(x))y^{\prime }(x)]dx$$

注意：积分限 $a\to b$ 按 $L$ 的方向取——从起点对应的 $x$ 到终点对应的 $x$。

例 3：计算 ${\int }_{L}xdx+ydy$，其中 $L$ 为抛物线 $y=x^2$ 上从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的一段。

解：$y=x^2,y^{\prime }=2x,x:0\to 1$。

$${\int }_{L}xdx+ydy={\int }_0^1[x+x^2\cdot 2x]dx={\int }_0^1(x+2x^3)dx={\left[\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{2}\right]}_0^1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$

例 4：计算 ${\int }_L(x^2-2xy)dx+(y^2-2xy)dy$，其中 $L$ 为抛物线 $y=1-x^2$ 上从 $(0,1)$ 到 $(1,0)$ 的一段。

解：$y=1-x^2,y^{\prime }=-2x,x:0\to 1$。

$$\begin{array}{rl}{\int }_L& ={\int }_0^1[(x^2-2x(1-x^2))+((1-x^2{)}^2-2x(1-x^2))\cdot (-2x)]dx\\ & ={\int }_0^1[x^2-2x+2x^3-2x(1-2x^2+x^4)+4x^3(1-x^2)]dx\\ & ={\int }_0^1[x^2-2x+2x^3-2x+4x^3-2x^5+4x^3-4x^5]dx\\ & ={\int }_0^1(x^2-4x+10x^3-6x^5)dx\\ & ={\left[\frac{x^3}{3}-2x^2+\frac{5}{2}{x}^4-x^6\right]}_0^1=\frac{1}{3}-2+\frac{5}{2}-1=-\frac{1}{6}\end{array}$$

两类曲线积分的联系

设为光滑空间曲线 $L$，取弧长参数方向与 $L$ 的指定方向一致。在 $L$ 上每一点处，有向弧微元 $d\mathbf{r}=(dx,dy,dz)$ 与弧长微元 $ds$ 的关系为

$$d\mathbf{r}=\mathbf{T}ds$$

其中 $\mathbf{T}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 是曲线在指定方向上的单位切向量：

$$\cos \alpha =\frac{dx}{ds},\cos \beta =\frac{dy}{ds},\cos \gamma =\frac{dz}{ds}$$

因此第二型曲线积分可用第一型曲线积分表出：

$${\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz={\int }_L(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )ds$$

向量形式：

$${\int }_L\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_L(\mathbf{F}\cdot \mathbf{T})ds$$

第二型曲线积分 = 向量场在切向方向的分量沿弧长的积分。它与方向有关正是因为 $\mathbf{T}$ 的符号随方向反转。

平面特例：若平面曲线 $L:y=y(x),x:a\to b$（沿 $x$ 增加方向），则

$$\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}},\cos \beta =\frac{y^{\prime }(x)}{\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}}$$

且 $ds=\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$，代入即回到定积分公式：

$${\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_a^b[P+Q{y}^{\prime }]dx$$

重积分

第一节 二重积分的概念

平面图形的面积

设 $D$ 为平面上的有界区域，取矩形 $R=[a,b]\times [c,d]$ 包含 $D$。用分点

$$a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b,c=y_0<y_1<\cdots <y_m=d$$

将 $R$ 分割为若干小矩形 $\Delta {\sigma }_{ij}$，其面积为

$$\Delta A_{ij}=\Delta x_i\Delta y_j$$

对分割 $P$，定义内面积和与外面积和：

$$A_{\ast }(D,P)=\sum _{\Delta {\sigma }_{ij}\subseteq D}\Delta A_{ij},A^{\ast }(D,P)=\sum _{\Delta {\sigma }_{ij}\cap D\ne \varnothing }\Delta A_{ij}$$

若当分割细度 $\lambda =\max \{\Delta x_i,\Delta y_j\}\to 0$ 时，

$$\underset{P}{\sup }{A}_{\ast }(D,P)=\underset{P}{\inf }{A}^{\ast }(D,P)=A(D)$$

则称 $D$ 为可求面积区域，$A(D)$ 为 $D$ 的面积。

等价表述：有界平面区域 $D$ 可求面积的充要条件是它的边界 $\partial D$ 的面积为零。

常见情形：由分段光滑曲线围成的闭区域一定可求面积。

二重积分的定义

设 $D$ 为平面上的有界可求面积区域，函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 上有界。将 $D$ 任意分割为 $n$ 个小区域 $\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,\dots ,\Delta {\sigma }_n$，记其面积为 $\Delta A_i$，在第 $i$ 个小区域上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$，作积分和：

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta A_i$$

若当分割细度 $\lambda =\max \{\Delta {\sigma }_i\text{ 的直径}\}\to 0$ 时，该和的极限存在且与分割方式、取点方式无关，则称此极限为 $f$ 在 $D$ 上的二重积分，记作

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$$

其中 $d\sigma$ 为平面面积元素，在直角坐标系中常写为 $d\sigma =dxdy$。

矩形区域情形：若 $D=R=[a,b]\times [c,d]$，则二重积分可看作二维区间上的 Riemann 积分：

$${\iint }_{R}f(x,y)d\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i,j}f({\xi }_{ij},{\eta }_{ij})\Delta x_i\Delta y_j$$

几何意义：当 $f(x,y)\ge 0$ 时，${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$ 表示以 $D$ 为底、以曲面 $z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体体积。

二重积分的存在性

定理 1（连续函数可积）：若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则 $f$ 在 $D$ 上可积。

定理 2（有界且间断点面积为零）：若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上有界，且其不连续点集合的面积为零，则 $f$ 在 $D$ 上可积。

这说明二重积分允许“少量”间断点存在；只要间断点不占面积，就不影响可积性。

定理 3（改变零面积集上的函数值）：若 $f$ 在 $D$ 上可积，且 $g$ 与 $f$ 只在面积为零的集合上不同，则 $g$ 在 $D$ 上也可积，并且

$${\iint }_{D}g(x,y)d\sigma ={\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$$

边界上的函数值通常不影响二重积分，因为可求面积区域的边界面积为零。

二重积分的性质

线性性质

若 $f,g$ 在 $D$ 上可积，$\alpha ,\beta$ 为常数，则 $\alpha f+\beta g$ 在 $D$ 上可积，且

$${\iint }_D[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]d\sigma =\alpha {\iint }_{D}f(x,y)d\sigma +\beta {\iint }_{D}g(x,y)d\sigma$$

区域可加性

若 $D=D_1\cup D_2$，且 $D_1$ 与 $D_2$ 的公共部分面积为零，则

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma +{\iint }_{D_2}f(x,y)d\sigma$$

常见情形：用一条曲线把区域分成两部分时，交界曲线面积为零，积分可直接相加。

保序性

若 $f,g$ 在 $D$ 上可积，且在 $D$ 上 $f(x,y)\le g(x,y)$，则

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \le {\iint }_{D}g(x,y)d\sigma$$

特别地，若 $f(x,y)\ge 0$，则

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \ge 0$$

绝对值性质

若 $f$ 在 $D$ 上可积，则

$$\left|{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \right|\le {\iint }_D|f(x,y)|d\sigma$$

估值性质

若 $f$ 在 $D$ 上可积，且

$$m\le f(x,y)\le M$$

则

$$mA(D)\le {\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \le MA(D)$$

其中 $A(D)$ 为区域 $D$ 的面积。

积分中值定理

若 $f$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则存在 $(\xi ,\eta )\in D$，使得

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta )A(D)$$

等价地，

$$f(\xi ,\eta )=\frac{1}{A(D)}{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$$

右边称为 $f$ 在区域 $D$ 上的平均值。

面积公式

取 $f(x,y)\equiv 1$，则

$${\iint }_{D}1d\sigma =A(D)$$

这是二重积分最基本的几何应用：区域面积可写成 $A(D)={\iint }_{D}d\sigma$。

第二节 直角坐标系下二重积分的计算

二重积分与累次积分的转换

核心思想：把二重积分化为“先对一个变量积分，再对另一个变量积分”的累次积分。

若 $f(x,y)$ 在矩形区域 $R=[a,b]\times [c,d]$ 上连续，则

$${\iint }_{R}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^b\left({\int }_c^{d}f(x,y)dy\right)dx={\int }_c^d\left({\int }_a^{b}f(x,y)dx\right)dy$$

先 $y$ 后 $x$：

$${\int }_a^{b}dx{\int }_c^{d}f(x,y)dy$$

表示先把 $x$ 看作常数，对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分。

先 $x$ 后 $y$：

$${\int }_c^{d}dy{\int }_a^{b}f(x,y)dx$$

表示先把 $y$ 看作常数，对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分。

对矩形区域，若 $f$ 连续，两种积分次序可以互换。

X 型区域

若平面区域 $D$ 可表示为

$$D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)\}$$

其中 ${\phi }_1(x),{\phi }_2(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则称 $D$ 为X 型区域。

几何意义：任取一条竖直直线 $x=x_0$，它与区域 $D$ 的交集通常是一条竖直线段：

$${\phi }_1(x_0)\le y\le {\phi }_2(x_0)$$

若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^b\left({\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy\right)dx$$

简记为

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy$$

X 型区域适合“先对 $y$ 积分，后对 $x$ 积分”。

Y 型区域

若平面区域 $D$ 可表示为

$$D=\{(x,y)\mid c\le y\le d,{\psi }_1(y)\le x\le {\psi }_2(y)\}$$

其中 ${\psi }_1(y),{\psi }_2(y)$ 在 $[c,d]$ 上连续，则称 $D$ 为Y 型区域。

几何意义：任取一条水平直线 $y=y_0$，它与区域 $D$ 的交集通常是一条水平线段：

$${\psi }_1(y_0)\le x\le {\psi }_2(y_0)$$

若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_c^d\left({\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)dx\right)dy$$

简记为

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_c^{d}dy{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)dx$$

Y 型区域适合“先对 $x$ 积分，后对 $y$ 积分”。

积分次序的选择

计算二重积分时，通常先画出积分区域 $D$，再判断它是 X 型还是 Y 型。

• 若用竖直线截区域时，上下边界容易表示为 $y={\phi }_1(x),y={\phi }_2(x)$，则选 X 型区域，先对 $y$ 积分。
• 若用水平线截区域时，左右边界容易表示为 $x={\psi }_1(y),x={\psi }_2(y)$，则选 Y 型区域，先对 $x$ 积分。
• 若一个区域既不是单纯 X 型也不是单纯 Y 型，可沿面积为零的曲线把区域分成若干小块，再分别积分。
• 若某种积分次序导致内层积分难以计算，可以考虑交换积分次序。

交换积分次序

同一个区域 $D$ 有时既可用 X 型表示，也可用 Y 型表示。若

$$D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)\}$$

又可写成

$$D=\{(x,y)\mid c\le y\le d,{\psi }_1(y)\le x\le {\psi }_2(y)\}$$

则

$${\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy={\int }_c^{d}dy{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)dx$$

例：设 $D$ 为由 $x$ 轴、直线 $x=1$ 和直线 $y=x$ 围成的三角形区域。

作为 X 型区域：

$$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le x\}$$

因此

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{x}f(x,y)dy$$

作为 Y 型区域：

$$D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,y\le x\le 1\}$$

因此

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_0^{1}dy{\int }_y^{1}f(x,y)dx$$

同一个二重积分可以有两种累次积分写法，关键是正确写出积分区域的边界。

第三节 格林公式·曲线积分与路线的无关性

相关：第二节 直角坐标系下二重积分的计算

格林公式

设平面有界闭区域 $D$ 的边界 $L$ 由有限条分段光滑曲线组成，函数 $P(x,y),Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数。若 $L$ 取正向，即沿 $L$ 行走时区域 $D$ 总在左侧，则

$${\oint }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$

这就是格林公式，也称格林积分公式。

方向约定：若 $D$ 是单连通区域，正向边界通常为逆时针方向；若 $D$ 有孔洞，则外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方向。

格林公式的核心作用：把闭曲线上的第二型曲线积分转化为区域上的二重积分。

曲线积分与路线无关的条件

设 $G$ 为平面区域，$P(x,y),Q(x,y)$ 在 $G$ 内连续可微。曲线积分

$${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$

与路线无关，是指积分值只由起点和终点决定，而与连接它们的具体路径无关。

以下条件相互等价：

1. 在 $G$ 内，曲线积分与路线无关；
2. 对 $G$ 内任意闭曲线 $C$，都有 $${\oint }_{C}Pdx+Qdy=0$$
3. 存在函数 $u(x,y)$，使得 $$du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$ 即 $$\frac{\partial u}{\partial x}=P(x,y),\frac{\partial u}{\partial y}=Q(x,y)$$

若进一步要求 $G$ 为单连通区域，则有重要判别条件：

$$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$$

在 $G$ 内处处成立时，曲线积分与路线无关。

必要条件总是成立：若存在原函数 $u$，则必有 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$。
充分条件需要区域单连通：若 $G$ 单连通且上述偏导条件成立，则曲线积分与路线无关。

利用格林公式理解路线无关性

若 $C$ 是 $G$ 内任意闭曲线，并且它围成区域 $D\subset G$，由格林公式：

$${\oint }_{C}Pdx+Qdy={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$

若

$$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$$

则右端二重积分为零，因此

$${\oint }_{C}Pdx+Qdy=0$$

所以曲线积分与路线无关。

在单连通区域中，“旋度为零” $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$ 等价于曲线积分与路线无关。

由 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ 求原函数的方法

若 $P,Q$ 满足路线无关条件，则存在原函数 $u(x,y)$，使得

$$du=Pdx+Qdy$$

即

$$u_x=P,u_y=Q$$

取定点 $(x_0,y_0)\in G$，定义

$$u(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}Pdx+Qdy$$

由于积分与路线无关，该定义良好。

常取折线路径：

$$(x_0,y_0)\to (x,y_0)\to (x,y)$$

于是

$$u(x,y)={\int }_{x_0}^{x}P(t,y_0)dt+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,t)dt+C$$

也可取另一条折线路径：

$$(x_0,y_0)\to (x_0,y)\to (x,y)$$

得到

$$u(x,y)={\int }_{y_0}^{y}Q(x_0,t)dt+{\int }_{x_0}^{x}P(t,y)dt+C$$

例：求微分式

$$(2xy)dx+(x^2+1)dy$$

的原函数。

这里

$$P=2xy,Q=x^2+1$$

且

$$\frac{\partial P}{\partial y}=2x,\frac{\partial Q}{\partial x}=2x$$

所以满足路线无关条件。

先对 $P$ 关于 $x$ 积分：

$$u(x,y)=\int 2xydx+\phi (y)=x^{2}y+\phi (y)$$

再对 $y$ 求偏导：

$$u_y=x^2+{\phi }^{\prime }(y)$$

令其等于 $Q$：

$$x^2+{\phi }^{\prime }(y)=x^2+1$$

所以

$${\phi }^{\prime }(y)=1$$

积分得

$$\phi (y)=y+C$$

因此原函数为

$$u(x,y)=x^{2}y+y+C$$

若 $P_y\ne Q_x$，则该微分式一般不存在单值原函数，曲线积分通常与路线有关。

第四节 二重积分的变量变换

相关：第二节 直角坐标系下二重积分的计算

二重积分变量变换的定义

设平面区域 $D$ 与 $uv$ 平面中的区域 $\Delta$ 通过变换

$$\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\end{array}$$

一一对应。若 $x(u,v),y(u,v)$ 在 $\Delta$ 上具有一阶连续偏导数，且雅可比行列式

$$J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}$$

除边界或零面积集外不为零，则二重积分的变量变换公式为

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{\Delta }f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|dudv$$

核心思想：变量变换把复杂区域 $D$ 和被积函数 $f(x,y)$ 化为较简单的区域 $\Delta$ 和函数，同时面积元素要乘上雅可比行列式的绝对值。

面积元素变换为

$$dxdy=\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|dudv$$

极坐标变换

极坐标变换为

$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$$

其雅可比行列式为

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right|=r$$

因此

$$dxdy=rdrd\theta$$

若区域 $D$ 在极坐标下可表示为

$$\Delta =\{(r,\theta )\mid \alpha \le \theta \le \beta ,r_1(\theta )\le r\le r_2(\theta )\}$$

则

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_{\alpha }^{\beta }{\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta$$

适用情形：当积分区域含有圆、圆弧、扇形、圆环，或被积函数含有 $x^2+y^2$ 时，常使用极坐标变换。

完整圆盘 $x^2+y^2\le a^2$ 对应

$$0\le r\le a,0\le \theta \le 2\pi$$

广义极坐标变换：椭圆变换

对于椭圆区域

$$\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}+\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}\le 1$$

可作广义极坐标变换：

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+ar\cos \theta \\ y=y_0+br\sin \theta \end{array}$$

其中 $a,b>0$。

其雅可比行列式为

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=\left|\begin{array}{cc}a\cos \theta & -ar\sin \theta \\ b\sin \theta & br\cos \theta \end{array}\right|=abr$$

因此

$$dxdy=abrdrd\theta$$

若 $D$ 为上述椭圆区域，则对应

$$0\le r\le 1,0\le \theta \le 2\pi$$

于是

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{1}f(x_0+ar\cos \theta ,y_0+br\sin \theta )abrdrd\theta$$

特殊情形：若椭圆中心在原点，则变换简化为

$$\{\begin{array}{l}x=ar\cos \theta \\ y=br\sin \theta \end{array}$$

对应区域

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$$

椭圆区域可看作圆经过 $x$ 方向伸缩 $a$ 倍、$y$ 方向伸缩 $b$ 倍得到，因此面积元素中多出因子 $abr$。

椭圆区域面积公式

取 $f(x,y)\equiv 1$，则椭圆

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$$

的面积为

$$A={\iint }_{D}dxdy={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{1}abrdrd\theta =ab\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2}=\pi ab$$

圆的面积公式 $A=\pi a^2$ 是椭圆面积公式在 $a=b$ 时的特例。

第五节 三重积分

三重积分的概念

设 $\Omega$ 为空间中的有界可求体积区域，函数 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上有界。将 $\Omega$ 任意分割为 $n$ 个小区域 $\Delta V_1,\Delta V_2,\dots ,\Delta V_n$，记其体积为 $\Delta V_i$，在第 $i$ 个小区域上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$，作积分和：

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta V_i$$

若当分割细度 $\lambda \to 0$ 时，该和的极限存在且与分割方式、取点方式无关，则称此极限为 $f$ 在 $\Omega$ 上的三重积分，记作

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV$$

其中 $dV$ 为空间体积元素，在直角坐标系中常写为 $dV=dxdydz$。

几何意义：当 $f(x,y,z)\ge 0$ 时，三重积分可理解为以 $\Omega$ 为空间区域、以 $f$ 为“体密度”的总量；特别地，

$${\iiint }_{\Omega }1dV=V(\Omega )$$

表示区域 $\Omega$ 的体积。

三重积分化为累次积分：先一后二

若空间区域 $\Omega$ 可表示为

$$\Omega =\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)\}$$

其中 $D$ 是 $xy$ 平面上的投影区域，则

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV={\iint }_D\left({\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz\right)dxdy$$

这种方法称为先一后二：先对 $z$ 积分，再在投影区域 $D$ 上作二重积分。

若 $D$ 是 X 型区域：

$$D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)\}$$

则

$${\iiint }_{\Omega }fdV={\int }_a^b{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dzdydx$$

例：设 $\Omega$ 由抛物面 $z=1-x^2-y^2$ 与平面 $z=0$ 围成。投影区域为

$$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\}$$

因此

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV={\iint }_{x^2+y^2\le 1}{\int }_0^{1-x^2-y^2}f(x,y,z)dzdxdy$$

若 $f\equiv 1$，体积为

$$V={\iint }_{x^2+y^2\le 1}(1-x^2-y^2)dxdy={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1(1-r^2)rdrd\theta =\frac{\pi }{2}$$

三重积分化为累次积分：先二后一

若空间区域 $\Omega$ 可用垂直于 $z$ 轴的截面表示为

$$\Omega =\{(x,y,z)\mid c\le z\le d,(x,y)\in D_z\}$$

其中 $D_z$ 是高度为 $z$ 时的截面区域，则

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV={\int }_c^d\left({\iint }_{D_z}f(x,y,z)dxdy\right)dz$$

这种方法称为先二后一：先在截面 $D_z$ 上作二重积分，再对 $z$ 积分。

例：设 $\Omega$ 为圆锥体

$$x^2+y^2\le z^2,0\le z\le h$$

在高度 $z$ 处的截面为圆盘

$$D_z=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le z^2\}$$

因此

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV={\int }_0^h{\iint }_{x^2+y^2\le z^2}f(x,y,z)dxdydz$$

若 $f\equiv 1$，体积为

$$V={\int }_0^h{\iint }_{x^2+y^2\le z^2}dxdydz={\int }_0^h\pi z^{2}dz=\frac{\pi h^3}{3}$$

先一后二适合“上下边界清楚”的区域；先二后一适合“截面形状简单”的区域。

三重积分的变量变换

设空间区域 $\Omega$ 与 $uvw$ 空间中的区域 $\Delta$ 通过变换

$$\{\begin{array}{l}x=x(u,v,w)\\ y=y(u,v,w)\\ z=z(u,v,w)\end{array}$$

一一对应。若雅可比行列式

$$J=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}& \frac{\partial x}{\partial w}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}& \frac{\partial y}{\partial w}\\ \frac{\partial z}{\partial u}& \frac{\partial z}{\partial v}& \frac{\partial z}{\partial w}\end{array}\right|$$

除边界或零体积集外不为零，则

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV={\iiint }_{\Delta }f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\right|dudvdw$$

体积元素变换为

$$dV=dxdydz=\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\right|dudvdw$$

柱坐标换元

柱坐标变换为

$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=z\end{array}$$

其雅可比行列式为

$$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}=\left|\begin{array}{ccc}\cos \theta & -r\sin \theta & 0\\ \sin \theta & r\cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=r$$

因此

$$dV=rdrd\theta dz$$

三重积分在柱坐标下为

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV={\iiint }_{\Delta }f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)rdrd\theta dz$$

适用情形：区域含有圆柱面、圆锥面、旋转抛物面，或被积函数含有 $x^2+y^2$ 时，常使用柱坐标。

球坐标换元

取球坐标

$$\{\begin{array}{l}x=r\sin \phi \cos \theta \\ y=r\sin \phi \sin \theta \\ z=r\cos \phi \end{array}$$

其中 $r\ge 0$，$\phi$ 为与 $z$ 轴正向的夹角，$\theta$ 为绕 $z$ 轴的旋转角。其雅可比行列式为

$$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\phi ,\theta )}=r^2\sin \phi$$

因此

$$dV=r^2\sin \phi drd\phi d\theta$$

三重积分在球坐标下为

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV={\iiint }_{\Delta }f(r\sin \phi \cos \theta ,r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \phi )r^2\sin \phi drd\phi d\theta$$

若 $\Omega$ 为球体 $x^2+y^2+z^2\le R^2$，则对应

$$0\le r\le R,0\le \phi \le \pi ,0\le \theta \le 2\pi$$

因此

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{R}f(r\sin \phi \cos \theta ,r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \phi )r^2\sin \phi drd\phi d\theta$$

适用情形：区域含有球面、球锥、圆锥面，或被积函数含有 $x^2+y^2+z^2$ 时，常使用球坐标。

第六节 重积分的应用

曲面的面积

设曲面 $S$ 由显式方程

$$z=z(x,y),(x,y)\in D$$

给出，且 $z_x,z_y$ 连续。则曲面面积为

$$A(S)={\iint }_D\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$$

若曲面由参数方程

$$\mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v)\in D$$

给出，则

$$A(S)={\iint }_D\left|{\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v\right|dudv$$

曲面面积公式的本质：把曲面切分成微小切平面，用切平面面积近似曲面面积。

质心

设空间物体占据区域 $\Omega$，密度函数为 $\rho (x,y,z)$。其总质量为

$$M={\iiint }_{\Omega }\rho (x,y,z)dV$$

质心 $(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$ 为

$$\bar{x}=\frac{1}{M}{\iiint }_{\Omega }x\rho (x,y,z)dV$$ $$\bar{y}=\frac{1}{M}{\iiint }_{\Omega }y\rho (x,y,z)dV$$ $$\bar{z}=\frac{1}{M}{\iiint }_{\Omega }z\rho (x,y,z)dV$$

若物体密度均匀，即 $\rho$ 为常数，则

$$\bar{x}=\frac{1}{V}{\iiint }_{\Omega }xdV,\bar{y}=\frac{1}{V}{\iiint }_{\Omega }ydV,\bar{z}=\frac{1}{V}{\iiint }_{\Omega }zdV$$

其中 $V={\iiint }_{\Omega }dV$ 为物体体积。

若物体关于某平面对称且密度均匀，则质心在该对称平面上。

转动惯量

设空间物体占据区域 $\Omega$，密度函数为 $\rho (x,y,z)$。物体绕坐标轴的转动惯量为

$$I_x={\iiint }_{\Omega }(y^2+z^2)\rho (x,y,z)dV$$ $$I_y={\iiint }_{\Omega }(x^2+z^2)\rho (x,y,z)dV$$ $$I_z={\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2)\rho (x,y,z)dV$$

其中 $I_z$ 是绕 $z$ 轴转动的转动惯量，积分中的 $x^2+y^2$ 表示质点到 $z$ 轴距离的平方。

若密度均匀，则 $\rho$ 可提出积分号外。

转动惯量的核心：质量元乘以它到转轴距离的平方，再对整个物体积分。

引力

设空间物体占据区域 $\Omega$，密度函数为 $\rho (x,y,z)$。求它对位于点

$$P_0(x_0,y_0,z_0)$$

处质量为 $m_0$ 的质点的引力。

取物体中的质量元

$$dm=\rho (x,y,z)dV$$

它到 $P_0$ 的距离平方为

$$r^2=(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2$$

由万有引力定律，质量元对 $m_0$ 的引力方向沿 $P_0$ 指向质量元的反方向，因此引力向量为

$$\mathbf{F}=G{m}_0{\iiint }_{\Omega }\rho (x,y,z)\frac{(x_0-x,y_0-y,z_0-z)}{{\left[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2\right]}^{3/2}}dV$$

其中 $G$ 为万有引力常量。

分量形式为

$$F_x=G{m}_0{\iiint }_{\Omega }\rho (x,y,z)\frac{x_0-x}{{\left[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2\right]}^{3/2}}dV$$ $$F_y=G{m}_0{\iiint }_{\Omega }\rho (x,y,z)\frac{y_0-y}{{\left[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2\right]}^{3/2}}dV$$ $$F_z=G{m}_0{\iiint }_{\Omega }\rho (x,y,z)\frac{z_0-z}{{\left[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2\right]}^{3/2}}dV$$

若物体具有对称性，某些引力分量可能相互抵消，计算前应先判断对称性。

曲面积分

第一节 第一型曲面积分

定义

设 $S$ 为空间中的一块光滑曲面，函数 $f(x,y,z)$ 在 $S$ 上有界。将 $S$ 任意分割为 $n$ 个小曲面片 $\Delta S_1,\Delta S_2,\dots ,\Delta S_n$，记其面积为 $\Delta S_i$，在第 $i$ 个小曲面片上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$，作积分和：

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta S_i$$

若当分割细度 $\lambda \to 0$ 时，该和的极限存在且与分割方式、取点方式无关，则称此极限为 $f$ 在曲面 $S$ 上的第一型曲面积分（对面积的曲面积分），记作

$${\iint }_{S}f(x,y,z)dS$$

物理意义：若 $f(x,y,z)$ 表示曲面的面密度，则

$${\iint }_{S}f(x,y,z)dS$$

表示该曲面的质量。

第一型曲面积分与曲面的方向无关，只与曲面本身和被积函数有关。

第一型曲面积分的计算

若曲面 $S$ 由显式方程

$$z=z(x,y),(x,y)\in D$$

给出，且 $z_x,z_y$ 连续，则

$$dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$$

因此

$${\iint }_{S}f(x,y,z)dS={\iint }_{D}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$$

若曲面 $S$ 由参数方程

$$\mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v)\in D$$

给出，则

$$dS=\left|{\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v\right|dudv$$

因此

$${\iint }_{S}f(x,y,z)dS={\iint }_{D}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\left|{\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v\right|dudv$$

简单例子

例 1：计算

$${\iint }_{S}zdS$$

其中 $S$ 为平面 $z=x+y$ 在 $0\le x\le 1,0\le y\le 1$ 上的部分。

这里

$$z_x=1,z_y=1$$

所以

$$dS=\sqrt{1+1^2+1^2}dxdy=\sqrt{3}dxdy$$

于是

$${\iint }_{S}zdS={\iint }_D(x+y)\sqrt{3}dxdy=\sqrt{3}{\int }_0^1{\int }_0^1(x+y)dxdy$$

计算得

$${\int }_0^1{\int }_0^1(x+y)dxdy={\int }_0^1\left(\frac{1}{2}+y\right)dy=1$$

因此

$${\iint }_{S}zdS=\sqrt{3}$$

例 2：半径为 $R$ 的球面面积为

$${\iint }_{S}1dS=4\pi R^2$$

这正是第一型曲面积分在 $f\equiv 1$ 时的几何意义：求曲面面积。

第二节 第二型曲面积分

曲面的侧

第二型曲面积分必须指定曲面的侧，也就是指定曲面的法向量方向。

常见情形：

• 曲面 $z=z(x,y)$ 有上侧和下侧：
  • 上侧：法向量的 $z$ 分量为正；
  • 下侧：法向量的 $z$ 分量为负。
• 闭曲面有外侧和内侧：
  • 外侧：法向量指向曲面外部；
  • 内侧：法向量指向曲面内部。

若改变曲面的侧，第二型曲面积分变号：

$${\iint }_{-S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=-\left({\iint }_{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\right)$$

第一型曲面积分与方向无关，第二型曲面积分与方向有关。

第二型曲面积分的定义

设 $S$ 为有向光滑曲面，向量场

$$\mathbf{F}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$$

定义在 $S$ 上。若 $S$ 的单位法向量为

$$\mathbf{n}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$$

则第二型曲面积分定义为

$${\iint }_{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$

即

$${\iint }_{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_S(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS$$

物理意义：若 $\mathbf{F}$ 表示流速场，则第二型曲面积分表示单位时间内通过有向曲面 $S$ 的流量。

第二型曲面积分的计算

参数曲面法

设曲面 $S$ 由参数方程

$$\mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v)\in D$$

给出，并取法向量方向为 ${\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v$ 的方向。则

$${\iint }_{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_D\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot ({\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v)dudv$$

写成分量形式：

$${\iint }_{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_D\left[P\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}+Q\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}+R\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right]dudv$$

其中

$$\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}{y}_u& y_v\\ z_u& z_v\end{array}\right|$$ $$\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}{z}_u& z_v\\ x_u& x_v\end{array}\right|$$ $$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}{x}_u& x_v\\ y_u& y_v\end{array}\right|$$

显式曲面法

若曲面 $S$ 为

$$z=z(x,y),(x,y)\in D$$

并取上侧，则

$$\mathbf{n}dS=(-z_x,-z_y,1)dxdy$$

因此

$${\iint }_{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_D\left[-P{z}_x-Q{z}_y+R\right]dxdy$$

其中 $P,Q,R$ 中的 $z$ 都要替换为 $z(x,y)$。

若取下侧，则积分结果取相反数。

简单例子

例：计算

$${\iint }_{S}xdydz+ydzdx+zdxdy$$

其中 $S$ 为平面

$$z=1-x-y$$

在第一卦限中的部分，取上侧。

投影区域为

$$D=\{(x,y)\mid x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 1\}$$

这里

$$z_x=-1,z_y=-1$$

且

$$P=x,Q=y,R=z=1-x-y$$

取上侧，因此

$${\iint }_{S}xdydz+ydzdx+zdxdy={\iint }_D\left[-x{z}_x-y{z}_y+z\right]dxdy$$

代入得

$$-x{z}_x-y{z}_y+z=x+y+(1-x-y)=1$$

所以

$${\iint }_{S}xdydz+ydzdx+zdxdy={\iint }_{D}1dxdy=A(D)=\frac{1}{2}$$

这个例子说明：第二型曲面积分的计算关键是确定曲面的侧，并正确代入法向量方向。

两类曲面积分的联系

设 $S$ 为有向曲面，单位法向量为

$$\mathbf{n}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$$

则第二型曲面积分可以写成第一型曲面积分：

$${\iint }_{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_S(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS$$

向量形式：

$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$

其中 $\mathbf{F}=(P,Q,R)$。

第二型曲面积分 = 向量场在曲面法向量方向上的分量对面积的积分。

对于显式曲面 $z=z(x,y)$，若取上侧，则

$$\mathbf{n}dS=(-z_x,-z_y,1)dxdy$$

因此

$${\iint }_{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_D(-P{z}_x-Q{z}_y+R)dxdy$$

若改为下侧，则

$$\mathbf{n}dS=(z_x,z_y,-1)dxdy$$

积分结果整体变号。

第一型曲面积分看“标量在曲面上的总量”，第二型曲面积分看“向量场穿过曲面的通量”。

第三节 高斯公式与斯托克斯公式

相关：第二节 第二型曲面积分

高斯公式

设 $\Omega$ 为空间中的有界闭区域，边界曲面 $S$ 分片光滑，取外侧方向。若函数 $P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数，则

$$\text{unicode}{8751}_{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iiint }_{\Omega }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV$$

这就是高斯公式，也称高斯散度定理。

向量形式为

$$\text{unicode}{8751}_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS={\iiint }_{\Omega }\nabla \cdot \mathbf{F}dV$$

其中

$$\mathbf{F}=(P,Q,R),\nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

高斯公式的核心：闭曲面上的通量等于区域内散度的体积分。

高斯公式例题

例：设 $S$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 的外侧，计算

$$\text{unicode}{8751}_{S}xdydz+ydzdx+zdxdy$$

这里

$$P=x,Q=y,R=z$$

因此

$$\frac{\partial P}{\partial x}=1,\frac{\partial Q}{\partial y}=1,\frac{\partial R}{\partial z}=1$$

由高斯公式：

$$\text{unicode}{8751}_{S}xdydz+ydzdx+zdxdy={\iiint }_{\Omega }3dV$$

其中 $\Omega$ 为半径 $R$ 的球体，体积为

$$V=\frac{4}{3}\pi R^3$$

所以

$$\text{unicode}{8751}_{S}xdydz+ydzdx+zdxdy=3\cdot \frac{4}{3}\pi R^3=4\pi R^3$$

直接计算球面通量较麻烦，高斯公式可将其转化为球体体积计算。

斯托克斯公式

设 $S$ 为分片光滑的有向曲面，边界曲线 $L$ 取与 $S$ 的法向量方向符合右手定则的正向。若 $P,Q,R$ 在包含 $S$ 的区域内具有一阶连续偏导数，则

$${\oint }_{L}Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_S\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$

向量形式为

$${\oint }_L\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS$$

其中

$$\mathbf{F}=(P,Q,R)$$

且

$$\nabla \times \mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)$$

斯托克斯公式的核心：向量场沿闭曲线的环量等于其旋度穿过曲面的通量。

斯托克斯公式例题

例：设 $L$ 为圆周

$$x^2+y^2=a^2,z=0$$

取从 $z$ 轴正向看去的逆时针方向。计算

$${\oint }_L-ydx+xdy$$

取 $S$ 为圆盘

$$x^2+y^2\le a^2,z=0$$

并取上侧，即单位法向量

$$\mathbf{n}=(0,0,1)$$

这里

$$P=-y,Q=x,R=0$$

于是

$$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2$$

由斯托克斯公式：

$${\oint }_L-ydx+xdy={\iint }_{S}2dS$$

圆盘面积为 $\pi a^2$，因此

$${\oint }_L-ydx+xdy=2\pi a^2$$

斯托克斯公式允许我们选择以 $L$ 为边界的任意合适曲面 $S$，只要方向匹配即可。