第一章 复数

第一节 复数的定义与四则运算

复数的定义

形如

$$z=x+iy(x,y\in \mathbb{R})$$

的数称为复数，其中 $i$ 为虚数单位，规定

$$i^2=-1.$$

$x$ 称为 $z$ 的实部，记作 $\mathrm{Re}z$；$y$ 称为 $z$ 的虚部，记作 $\mathrm{Im}z$。

• 当 $y=0$ 时，$z=x$ 为实数；当 $x=0$ 且 $y\ne 0$ 时，$z=iy$ 称为纯虚数；
• 两个复数相等当且仅当实部与虚部分别相等：

$$x_1+i{y}_1=x_2+i{y}_2⟺x_1=x_2\text{且}{y}_1=y_2.$$

全体复数组成的集合记作

$$\mathbb{C}=\{x+iy\mid x,y\in \mathbb{R}\},$$

称为复数集。实数集 $\mathbb{R}$ 是 $\mathbb{C}$ 的子集，即 $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$。

复数的四则运算

设 $z_1=x_1+i{y}_1$，$z_2=x_2+i{y}_2$。

加法与减法：

$$z_1\pm z_2=(x_1\pm x_2)+i(y_1\pm y_2).$$

乘法（按多项式展开并用 $i^2=-1$）：

$$z_1{z}_2=(x_1+i{y}_1)(x_2+i{y}_2)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+i(x_1{y}_2+x_2{y}_1).$$

除法（$z_2\ne 0$，分子分母同乘分母的共轭）：

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1{\bar{z}}_2}{z_2{\bar{z}}_2}=\frac{(x_1+i{y}_1)(x_2-i{y}_2)}{x_2^2+y_2^2}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2{y}_1-x_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}.$$

其中 $\bar{z}=x-iy$ 为 $z$ 的共轭复数，满足

$$z\bar{z}=|z{|}^2,\overline{z_1\pm z_2}={\bar{z}}_1\pm {\bar{z}}_2,\overline{z_1{z}_2}={\bar{z}}_1{\bar{z}}_2.$$

例：设 $z_1=1+2i$，$z_2=3-i$，则

$$z_1+z_2=4+i,z_1{z}_2=(1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i^2=5+5i,$$ $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(1+2i)(3+i)}{3^2+1^2}=\frac{1+7i}{10}=\frac{1}{10}+\frac{7}{10}i.$$

复数集是一个数域

数域：设 $F$ 是含 $0,1$ 的数集，若 $F$ 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍属于 $F$，则称 $F$ 为一个数域。

复数集 $\mathbb{C}$ 在加法与乘法下满足：

• 加法与乘法分别满足交换律与结合律，且乘法对加法满足分配律；
• 存在加法单位元 $0$ 与乘法单位元 $1$；
• 任意 $z\in \mathbb{C}$ 有加法逆元 $-z$，任意 $z\ne 0$ 有乘法逆元

$$z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}=\frac{\bar{z}}{z\bar{z}};$$

• 加、减、乘、除（除数非零）运算在 $\mathbb{C}$ 内封闭。

因此 $\mathbb{C}$ 是一个数域，并且是包含 $\mathbb{R}$ 与 $i$ 的最小数域。$\mathbb{R}$、$\mathbb{Q}$ 也都是数域，而整数集 $\mathbb{Z}$ 不是数域（如 $\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}$）。

[!note] 与实数的区别 复数不能比较大小，$\mathbb{C}$ 上不存在与运算相容的全序关系；复数的大小通常用模 $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ 来度量。

第二节 复数的几何表示

复平面与向量表示

在平面直角坐标系中，用横轴表示实部、纵轴表示虚部，则每个复数 $z=x+iy$ 与点 $(x,y)$ 一一对应，也与从原点出发的向量 $\overrightarrow{Oz}$ 一一对应。这样建立的平面称为复平面（或 $z$ 平面），横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。

图 1　复数 $z=x+iy$ 的几何表示

模与辐角

复数 $z=x+iy$ 到原点的距离称为模：

$$|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}\ge 0.$$

非零复数对应向量与正实轴正向的夹角 $\theta$ 称为 $z$ 的辐角，记作 $\mathrm{Arg}z$。由于夹角可相差 $2\pi$ 的整数倍，辐角是多值的：

$$\mathrm{Arg}z=\arg z+2k\pi (k\in \mathbb{Z}),$$

其中落在 $(-\pi ,\pi ]$ 内的那一个称为辐角主值，记作 $\arg z$。$z=0$ 的辐角无意义。

由 $\tan \theta =\frac{y}{x}$ 并结合点所在象限，可得主值的计算公式：

$$\arg z=\{\begin{array}{ll}\arctan \frac{y}{x},& x>0,\\ \arctan \frac{y}{x}+\pi ,& x<0,y\ge 0,\\ \arctan \frac{y}{x}-\pi ,& x<0,y<0,\\ \frac{\pi }{2},& x=0,y>0,\\ -\frac{\pi }{2},& x=0,y<0.\end{array}$$

模与辐角满足 $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$，$\mathrm{Arg}(z_1{z}_2)=\mathrm{Arg}{z}_1+\mathrm{Arg}{z}_2$（集合意义下）。

三角形式

由 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，非零复数可写成

$$z=r(\cos \theta +i\sin \theta ),$$

称为复数的三角形式，其中 $r=|z|$，$\theta =\mathrm{Arg}z$。

三角形式下的乘法与除法

设 $z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$，$z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$，由和角公式得

$$z_1{z}_2=r_1{r}_2[\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)],$$ $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)](z_2\ne 0).$$

即：积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和。几何上，乘法相当于把 $z_1$ 对应的向量先伸缩 $r_2$ 倍，再逆时针旋转 ${\theta }_2$。

图 2　三角形式乘法的几何意义：模相乘、辐角相加

棣莫弗公式

在乘法公式中取 $z_1=z_2=\cdots =z_n=\cos \theta +i\sin \theta$，用数学归纳法可得棣莫弗（de Moivre）公式：

$$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta (n\in {\mathbb{N}}^{\ast }).$$

由除法公式可进一步得到 $n$ 为负整数时公式仍成立。

例：取 $n=3$，左边展开为

$${\cos }^3\theta +3i{\cos }^2\theta \sin \theta -3\cos \theta {\sin }^2\theta -i{\sin }^3\theta ,$$

与右边 $\cos 3\theta +i\sin 3\theta$ 比较实部与虚部，即得三倍角公式

$$\cos 3\theta ={\cos }^3\theta -3\cos \theta {\sin }^2\theta ,\sin 3\theta =3{\cos }^2\theta \sin \theta -{\sin }^3\theta .$$

指数形式与欧拉公式

由欧拉公式

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta ,$$

非零复数可写成更简洁的指数形式

$$z=r{e}^{i\theta }(r=|z|,\theta =\mathrm{Arg}z).$$

欧拉公式的简易证明：将 $e^{i\theta }$ 按泰勒级数展开（此处不讨论级数的敛散性），并利用 $i$ 的幂的周期性 $i^0=1,i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,\dots$：

$$e^{i\theta }=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(i\theta {)}^n}{n!}=\left(1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\cdots \right)+i\left(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-\cdots \right)=\cos \theta +i\sin \theta .$$

其中两个括号分别是 $\cos \theta$ 与 $\sin \theta$ 的泰勒展开。

在指数形式下，乘法、除法与棣莫弗公式可统一写成

$$z_1{z}_2=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)},\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)},z^n=r^n{e}^{in\theta }.$$

复数的开方

设 $z=r{e}^{i\theta }(z\ne 0)$，求 $w=\rho e^{i\phi }$ 使 $w^n=z$。由 ${\rho }^n{e}^{in\phi }=r{e}^{i\theta }$ 得

$$\rho =\sqrt[n]{r},n\phi =\theta +2k\pi ,$$

即

$$\phi =\frac{\theta +2k\pi }{n}(k\in \mathbb{Z}).$$

由于 $\phi$ 每增加 $2\pi$ 对应同一个 $w$，只需取 $k=0,1,\dots ,n-1$，得到 $n$ 个不同的 $n$ 次方根：

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\theta +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\theta +2k\pi }{n}\right),k=0,1,\dots ,n-1.$$

几何意义：$z$ 的 $n$ 个 $n$ 次方根均匀分布在以原点为中心、半径为 $\sqrt[n]{r}$ 的圆周上，构成一个内接正 $n$ 边形的 $n$ 个顶点。

图 3　三次单位根 $1,\omega ,{\omega }^2$（$\omega =e^{2\pi i/3}$），满足 $1+\omega +{\omega }^2=0$

例：三次单位根为

$$1,\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,{\omega }^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,$$

且有 $1+\omega +{\omega }^2=0$。

共轭复数

设 $z=x+iy$，称 $\bar{z}=x-iy$ 为 $z$ 的共轭复数。几何上，$\bar{z}$ 与 $z$ 关于实轴对称。

共轭运算的基本性质：

$$\overline{\stackrel{ˉ}{z}}=z,\overline{z_1\pm z_2}={\bar{z}}_1\pm {\bar{z}}_2,\overline{z_1{z}_2}={\bar{z}}_1{\bar{z}}_2,\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{{\bar{z}}_1}{{\bar{z}}_2}(z_2\ne 0),$$ $$z\bar{z}=|z{|}^2,\mathrm{Re}z=\frac{z+\bar{z}}{2},\mathrm{Im}z=\frac{z-\bar{z}}{2i},|z|=|\bar{z}|.$$

用三角形式或指数形式表示，共轭就是辐角取相反数：

$$\bar{z}=r(\cos \theta -i\sin \theta )=r{e}^{-i\theta }.$$

球极投影与扩充复平面

在复数集 $\mathbb{C}$ 中引入一个无穷远点 $\infty$，得到扩充复平面 ${\mathbb{C}}_{\infty }=\mathbb{C}\cup \{\infty \}$。

为给 $\infty$ 一个直观的几何模型，取单位球面 $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$，令其北极 $N=(0,0,1)$、南极 $S=(0,0,-1)$，并把 $x_3=0$ 的赤道平面看作复平面。任取复平面上一点 $z$，连接 $N$ 与 $z$ 的直线与球面交于异于 $N$ 的唯一一点 $P$，于是

$$\mathbb{C}\ni z⟷P(\text{球面}\setminus \{N\})$$

构成一一对应，称为球极投影。当 $z$ 沿任意方向趋于无穷远时，$P$ 都趋于 $N$，因此自然地把 $N$ 对应到 $\infty$。

图 4　球极投影：复平面与黎曼球面（$N\leftrightarrow \infty$）

这个球面称为黎曼球面。在球极投影下，扩充复平面与球面在拓扑上等价，无穷远点不再是一个特殊的例外。

第三节 平面点集与平面曲线

邻域与距离

$\mathbb{C}$ 中两点 $z_1,z_2$ 的距离为 $|z_1-z_2|$。以 $z_0$ 为中心、$\delta >0$ 为半径的邻域与去心邻域分别为

$$U(z_0,\delta )=\{z\in \mathbb{C}:|z-z_0|<\delta \},U^{\circ }(z_0,\delta )=\{z:0<|z-z_0|<\delta \}.$$

点与点集的关系

设 $E\subseteq \mathbb{C}$，$z_0\in \mathbb{C}$。关于 $E$：

• 内点：若存在 $\delta >0$ 使 $U(z_0,\delta )\subseteq E$，则 $z_0$ 是 $E$ 的内点；$E$ 的全体内点记作 $E^{\circ }$。
• 外点：若存在 $\delta >0$ 使 $U(z_0,\delta )\cap E=\varnothing$，则 $z_0$ 是 $E$ 的外点。
• 边界点：若对任意 $\delta >0$，$U(z_0,\delta )$ 中既含 $E$ 的点又含非 $E$ 的点，则 $z_0$ 是 $E$ 的边界点；全体边界点记作 $\partial E$。
• 聚点：若对任意 $\delta >0$ 都有 $U^{\circ }(z_0,\delta )\cap E\ne \varnothing$，则 $z_0$ 是 $E$ 的聚点；全体聚点称为 $E$ 的导集，记作 $E^{\prime }$。
• 孤立点：若 $z_0\in E$ 且存在 $\delta >0$ 使 $U(z_0,\delta )\cap E=\{z_0\}$，则 $z_0$ 是 $E$ 的孤立点。孤立点必属于 $E$，是边界点但不是聚点。

闭包 $\bar{E}=E\cup E^{\prime }$，且 $E^{\circ }\subseteq E\subseteq \bar{E}$。

开集、闭集与区域

• 开集：$E$ 中每一点都是内点，即 $E=E^{\circ }$；
• 闭集：$E$ 包含其全部聚点，即 $E^{\prime }\subseteq E$；等价地 $\mathbb{C}\setminus E$ 为开集，或 $E=\bar{E}$；
• 区域（开域）：连通的开集，其中连通指 $E$ 中任意两点可用完全含于 $E$ 内的折线连接；
• 闭域：区域连同其边界，即 $D\cup \partial D$；
• 有界集：存在 $M>0$ 使 $E\subseteq U(0,M)$。

例：

• $|z|<1$ 是区域、有界开集，其边界 $\partial E$ 为单位圆周；
• $|z|\le 1$ 是闭域、有界闭集；
• $\mathrm{Im}z>0$ 是上半平面，为无界区域；
• 环形域 $r<|z-z_0|<R$ 是区域，且为多连通区域。

平面曲线

连续曲线：设

$$z(t)=x(t)+iy(t),t\in [\alpha ,\beta ],$$

其中 $x(t),y(t)$ 是 $[\alpha ,\beta ]$ 上的连续函数，则点集 $C=\{z(t):t\in [\alpha ,\beta ]\}$ 称为连续曲线，$z(\alpha )$ 与 $z(\beta )$ 称为曲线的端点。

简单曲线（若尔当曲线）：若连续曲线 $z(t)$ 满足：当 $t_1\ne t_2$（端点除外）时 $z(t_1)\ne z(t_2)$，即曲线自身不相交，则称其为简单曲线；若进一步有 $z(\alpha )=z(\beta )$，则称为简单闭曲线。

光滑曲线：若 $x(t),y(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上有连续导数，且

$$z^{\prime }(t)=x^{\prime }(t)+i{y}^{\prime }(t)\ne 0(\alpha \le t\le \beta ),$$

则称 $C$ 为光滑曲线。此时曲线上每一点都有切线，且切线方向随参数连续变化；向量 $z^{\prime }(t)$ 即为该点处的切向量，$\arg z^{\prime }(t)$ 为切线方向。

逐段光滑曲线：由有限条光滑曲线首尾相接而成的曲线称为逐段光滑曲线（分段光滑曲线），在连接点处允许出现角点。复变函数的积分与留数所讨论的曲线通常都要求逐段光滑。

[!note] 若尔当定理 任一简单闭曲线 $C$ 把复平面分成两个区域：有界的内部与无界的外部，$C$ 是它们的公共边界。

图 5　简单闭曲线 $C$ 的内部与外部（箭头为逆时针正方向）

曲线与区域在复平面上的方程

利用 $x=\frac{z+\bar{z}}{2}$，$y=\frac{z-\bar{z}}{2i}$ 以及 $|z-z_0{|}^2=(z-z_0)(\bar{z}-{\bar{z}}_0)$，可把直角坐标下的方程改写成复数形式。

1. 直线（一般式）：$Ax+By+C=0(A,B,C\in \mathbb{R})$ 化为

$$b\bar{z}+\bar{b}z+C=0,b=A+iB\in \mathbb{C},C\in \mathbb{R}.$$

推导：代入 $x=\frac{z+\bar{z}}{2}$、$y=\frac{z-\bar{z}}{2i}$，得 $\frac{A-iB}{2}z+\frac{A+iB}{2}\bar{z}+C=0$，即 $b\bar{z}+\bar{b}z+C=0$。

例：直线 $x+y-1=0$ 的复数形式为 $b=1+i$，即

$$(1+i)\bar{z}+(1-i)z-1=0.$$

2. 圆：以 $z_0$ 为圆心、$R$ 为半径的圆可表示为

$$|z-z_0|=R⟺(z-z_0)(\bar{z}-{\bar{z}}_0)=R^2⟺z\bar{z}-{\bar{z}}_{0}z-z_0\bar{z}+|z_0{|}^2-R^2=0.$$

3. 直线的参数方程：$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ 对应

$$z=z_0+tw,w=a+ib,t\in \mathbb{R},$$

其中 $z_0=x_0+i{y}_0$ 是直线上已知点，$w$ 是方向向量对应的复数。

4. 圆的参数方程：$\{\begin{array}{l}x=x_0+R\cos t\\ y=y_0+R\sin t\end{array}$ 对应

$$z=z_0+R{e}^{it}(0\le t\le 2\pi ).$$

5. 其他常用曲线与区域：

• 线段 $z_1{z}_2$：$z=z_1+t(z_2-z_1)$，$0\le t\le 1$；
• 以 $z_0$ 为起点、方向为 $w$ 的射线：$z=z_0+tw$，$t\ge 0$；
• 椭圆：$z=z_0+a\cos t+ib\sin t$，$0\le t\le 2\pi$；
• 上半平面：$\mathrm{Im}z>0$；右半平面：$\mathrm{Re}z>0$。

各方程的对应关系汇总如下：

图形	直角坐标方程	复数方程
直线	$Ax+By+C=0$	$b\bar{z}+\bar{b}z+C=0$，$b=A+iB$
圆	$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$	$|z-z_0|=R$
直线（参数式）	$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_0}{y_0}\right)+t\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}\right)$	$z=z_0+tw$，$w=a+ib$
圆（参数式）	$x=x_0+R\cos t,y=y_0+R\sin t$	$z=z_0+R{e}^{it}$

第四节 复变函数

复变函数的定义

设 $G\subseteq \mathbb{C}$。若对每个 $z\in G$，按一定法则 $f$ 都有确定的复数 $w$ 与之对应，则称 $f$ 是定义在 $G$ 上的复变函数，记作

$$w=f(z),z\in G,$$

$G$ 称为 $f$ 的定义域。若每个 $z$ 只对应一个 $w$，称 $f$ 为单值函数；若对应多个 $w$，则称为多值函数（如 $\mathrm{Arg}z$、$\sqrt[n]{z}$）。以下如无特别说明均指单值函数。

像集与原像集

设 $f:G\to \mathbb{C}$，$E\subseteq G$，$W\subseteq \mathbb{C}$。

• 像集：$E$ 在 $f$ 下的像为

$$f(E)=\{w\in \mathbb{C}:w=f(z),z\in E\},$$

特别地 $f(G)$ 称为 $f$ 的值域。

• 原像集：$W$ 的原像为

$$f^{-1}(W)=\{z\in G:f(z)\in W\}.$$

单射、满射与反函数：

• 若 $z_1\ne z_2\Rightarrow f(z_1)\ne f(z_2)$，则称 $f$ 为单射（一一映射）；
• 若 $f(G)=\mathbb{C}$，则称 $f$ 为满射；
• 既单射又满射的映射称为双射，此时存在反函数 $f^{-1}:f(G)\to G$。

例：设 $f(z)=z^2$。

• 单位圆周 $E=\{z:|z|=1\}$ 的像为 $f(E)=\{w:|w|=1\}$，单位圆盘 $|z|<1$ 的像为 $|w|<1$；
• 对 $W=\{w:\mathrm{Im}w=0\}$，由 $\mathrm{Im}(z^2)=2xy$ 得原像

$$f^{-1}(W)=\{z:xy=0\},$$

即实轴与虚轴的并集。

分量表示

设 $z=x+iy$，$w=f(z)$，则

$$w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$$

其中

$$u(x,y)=\mathrm{Re}f(z),v(x,y)=\mathrm{Im}f(z)$$

是两个二元实值函数。于是一个复变函数等价于一对二元实函数 $u,v$，可写成实映射的形式

$$(x,y)⟼(u(x,y),v(x,y)).$$

反之，任意给定一对二元实函数 $u(x,y),v(x,y)$，就确定了一个复变函数 $f=u+iv$。

例：对 $f(z)=z^2$，由

$$(x+iy{)}^2=(x^2-y^2)+2ixy$$

得

$$u(x,y)=x^2-y^2,v(x,y)=2xy.$$

几何意义：$w=f(z)$ 把 $z$ 平面上的点、曲线或区域按法则 $f$ 变换到 $w$ 平面上。$z$ 平面称为原像平面，$w$ 平面称为像平面。

几种常见的复变函数变换

1. 平移：$w=z+b$，把每一点沿向量 $b$ 平移。

2. 旋转与伸缩：$w=az(a\ne 0)$。设 $a=\rho e^{i\phi }$，则 $|w|=\rho |z|$，$\arg w=\arg z+\phi$，即把图形伸缩 $\rho$ 倍并旋转 $\phi$。

3. 倒置换（反演）：$w=\frac{1}{z}(z\ne 0)$。其分量表示为

$$w=\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},$$

即

$$u=\frac{x}{x^2+y^2},v=-\frac{y}{x^2+y^2}.$$

性质：

• 把单位圆周 $|z|=1$ 映为自身，并把单位圆内部 $|z|<1$ 与外部 $|z|>1$ 互换；
• 具有保圆性：把圆周或直线映为圆周或直线；特别地，过原点的直线映为过原点的直线，不过原点的直线映为过原点的圆；
• $w=\frac{1}{\bar{z}}$ 表示关于单位圆的对称（反演），与 $w=\frac{1}{z}$ 相差一个共轭。

4. 茹科夫斯基函数（Joukowski 函数）：

$$w=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)(z\ne 0).$$

取 $z=r{e}^{i\theta }$，则

$$w=\frac{1}{2}\left(r{e}^{i\theta }+\frac{1}{r}{e}^{-i\theta }\right)=\frac{1}{2}\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos \theta +\frac{i}{2}\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin \theta .$$

性质：

• 把圆周 $|z|=r$ 映为椭圆，其半轴分别为 $\frac{1}{2}\left(r+\frac{1}{r}\right)$ 与 $\frac{1}{2}\left|r-\frac{1}{r}\right|$；
• 由于 $z$ 与 $1/z$ 给出同一像，圆周 $|z|=r$ 与 $|z|=1/r$ 映为同一个椭圆；
• 当 $r=1$ 时椭圆退化为实轴上的线段 $[-1,1]$，且被往返覆盖两次；
• 把 $|z|>1$ 的外部单叶地映为 $w$ 平面去掉线段 $[-1,1]$ 的区域；
• 在空气动力学中，用它把接近圆的轮廓映为机翼截面（茹科夫斯基翼型），是共形映射的经典例子。

图 6　茹科夫斯基函数：圆周 $|z|=r$ 映为椭圆，$|z|=1$ 映为线段 $[-1,1]$